Proyección de Mercator transversal

La proyección de Mercator es una transformación conforme, independientemente de si es normal, oblicua o transversal. Esta propiedad se ilustra con una animación que muestra una transición fluida desde la proyección normal (ecuatorial) hasta la proyección transversal de Mercator esférica. Las indicatrices permanecen circulares en todo el mapa, aunque con tamaños diferentes debido a los cambios de escala locales.

Durante la transformación, el meridiano central gira desde el eje y en la proyección polar hasta el eje x en la proyección transversal, como si la Tierra girara dentro del cilindro de proyección . En ambos casos, el recorte se aplica simétricamente sobre el eje y , el eje del cilindro, de modo que el contorno del mapa no cambia. El ecuador terrestre se resalta con una línea verde gruesa. Se extiende hasta el infinito en la proyección transversal.

• Cerca del meridiano central (Greenwich en el ejemplo anterior), la proyección presenta poca distorsión y las formas de África, Europa occidental, las Islas Británicas, Groenlandia y la Antártida se comparan favorablemente con un globo terráqueo.
• Las regiones centrales de las proyecciones transversales sobre la esfera y el elipsoide son indistinguibles en las proyecciones a pequeña escala que se muestran aquí.
• Los meridianos situados a 90° al este y al oeste del meridiano central elegido se proyectan como líneas horizontales que pasan por los polos. El hemisferio más distante se proyecta por encima del polo norte y por debajo del polo sur.
• El ecuador divide África, cruza Sudamérica y continúa hasta el límite exterior completo de la proyección; deben identificarse los bordes superior e inferior, así como los bordes derecho e izquierdo (es decir, representan las mismas líneas en el globo). (Indonesia está dividida).
• La distorsión aumenta hacia los límites derecho e izquierdo de la proyección, pero no llega al infinito. Obsérvese en las Islas Galápagos, donde el meridiano de 90° oeste se encuentra con el ecuador en la parte inferior izquierda.
• El mapa es conforme. Las líneas que se intersecan en cualquier ángulo especificado sobre el elipsoide se proyectan en líneas que se intersecan en el mismo ángulo sobre la proyección. En particular, los paralelos y los meridianos se intersecan en un ángulo de 90°.
• El factor de escala puntual es independiente de la dirección en cualquier punto, de modo que la forma de una región pequeña se conserva razonablemente bien. La condición necesaria es que la magnitud del factor de escala no varíe demasiado en la región en cuestión. Cabe destacar que, si bien Sudamérica se ve muy distorsionada, la isla de Ceilán es lo suficientemente pequeña como para conservar una forma razonable, aunque se encuentre lejos del meridiano central.
• La elección del meridiano central influye enormemente en la apariencia de la proyección. Si se eligen los 90°O, la proyección abarca todo el continente americano. Si se eligen los 145°E, la proyección es buena para el Lejano Oriente y Australia se orienta con el norte hacia arriba.

En la mayoría de las aplicaciones, el sistema de coordenadas Gauss-Krüger se aplica a una franja estrecha cerca de los meridianos centrales, donde las diferencias entre las versiones esférica y elipsoidal son pequeñas, pero importantes para una cartografía precisa. Las series directas de escala, convergencia y distorsión dependen de la excentricidad y de la latitud y longitud en el elipsoide; las series inversas dependen de la excentricidad y de los ejes x e y en la proyección. En la versión secante, las líneas de escala real en la proyección ya no son paralelas al meridiano central; se curvan ligeramente. El ángulo de convergencia entre los meridianos proyectados y las líneas de cuadrícula constantes en x ya no es cero (excepto en el ecuador), por lo que se debe corregir el rumbo de la cuadrícula para obtener un acimut desde el norte verdadero. La diferencia es pequeña, pero no despreciable, especialmente en latitudes altas.

En su artículo de 1912 ^{[ 6 ]} , Krüger presentó dos soluciones distintas, diferenciadas aquí por el parámetro de expansión:

• Krüger – n (párrafos 5 a 8): Las fórmulas para la proyección directa, que dan las coordenadas x e y , son expansiones de cuarto orden en términos del tercer achatamiento, n (la razón entre la diferencia y la suma de los ejes mayor y menor del elipsoide). Los coeficientes se expresan en términos de latitud ( φ ), longitud ( λ ), eje mayor ( a ) y excentricidad ( e ). Las fórmulas inversas para φ y λ también son expansiones de cuarto orden en n, pero con coeficientes expresados ​​en términos de x , y , a y e .
• Krüger– λ (párrafos 13 y 14): Las fórmulas que dan las coordenadas de proyección x e y son expansiones (de órdenes 5 y 4 respectivamente) en términos de la longitud λ , expresadas en radianes: los coeficientes se expresan en términos de φ , a y e . La proyección inversa para φ y λ son expansiones de sexto orden en términos de la razón x / a , con coeficientes expresados ​​en términos de y , a y e . (Véase Transverse Mercator: serie de Redfearn ) .

Las series Krüger- λ fueron las primeras en implementarse, posiblemente porque eran mucho más fáciles de evaluar en las calculadoras de mano de mediados del siglo XX.

• Lee–Redfearn–OSGB : En 1945, LP Lee ^{[ 9 ]} confirmó las expansiones λ de Krüger y propuso su adopción por la OSGB ^{[ 10 ]} , pero Redfearn (1948) ^{[ 11 ]} señaló que no eran precisas debido a (a) las latitudes relativamente altas de Gran Bretaña y (b) la gran anchura del área cartografiada, de más de 10 grados de longitud. Redfearn extendió la serie hasta el octavo orden y examinó qué términos eran necesarios para alcanzar una precisión de 1  mm (medición terrestre). La serie de Redfearn sigue siendo la base de las proyecciones cartográficas de la OSGB. ^{[ 10 ]}
• Thomas–UTM : Las expansiones λ de Krüger también fueron confirmadas por Paul Thomas en 1952: ^{[ 12 ]} están disponibles en Snyder. ^{[ 13 ]} Sus fórmulas de proyección, completamente equivalentes a las presentadas por Redfearn, fueron adoptadas por la Agencia de Cartografía de Defensa de los Estados Unidos como base para el UTM . ^{[ 14 ]} También están incorporadas en el convertidor de coordenadas GEOTRANS ^{[ 15 ]} proporcionado por la Oficina de Geomática de la Agencia Nacional de Inteligencia Geoespacial de los Estados Unidos.
• Otros países : La serie Redfearn es la base para la cartografía geodésica en muchos países: Australia, Alemania, Canadá, Sudáfrica, por nombrar solo algunos. (Se incluye una lista en el Apéndice A.1 de Stuifbergen 2009). ^{[ 16 ]}
• Se han propuesto numerosas variantes de la serie Redfearn, pero solo las adoptadas por las agencias cartográficas nacionales son relevantes. Para un ejemplo de modificaciones que no gozan de este estatus, véase la serie Bowring de Mercator Transversal . Todas estas modificaciones han quedado eclipsadas por la potencia de los ordenadores modernos y el desarrollo de las series n de alto orden que se describen a continuación. La serie Redfearn, aunque de bajo orden, no puede descartarse, ya que aún se encuentra incluida en las definiciones cuasi legales de OSGB y UTM, entre otras.

Las series de Krüger- n han sido implementadas (hasta el cuarto orden en n ) por las siguientes naciones.

• Francia ^{[ 17 ]}
• Finlandia ^{[ 18 ]}
• Suecia ^{[ 19 ]}
• Japón ^{[ 20 ]}

^{Engsager y Poder [ 21 ]} implementaron versiones de orden superior de la serie de Krüger- n hasta el séptimo orden, y Kawase ^{[ 22 ]} hasta el décimo. Además de una expansión en serie para la transformación entre latitud y latitud conforme, Karney implementó la serie hasta el trigésimo orden ^{[ 23 ] .}

LP Lee describe una solución exacta de EH Thompson. ^{[ 8 ]} Se construye en términos de funciones elípticas (definidas en los capítulos 19 y 22 del manual NIST ^{[ 24 ]} ) que pueden calcularse con precisión arbitraria utilizando sistemas de computación algebraica como Maxima. ^{[ 25 ]} Karney (2011) describe una implementación de dicha solución exacta. ^{[ 23 ] [ 26 ]}

La solución exacta es una herramienta valiosa para evaluar la precisión de las series truncadas de n y λ . Por ejemplo, la serie original de Krüger -n de 1912 se compara muy favorablemente con los valores exactos: difieren en menos de 0,31  μm dentro de los 1000  km del meridiano central y en menos de 1  mm hasta los 6000  km. Por otro lado, la diferencia entre la serie de Redfearn utilizada por GEOTRANS y la solución exacta es inferior a 1  mm hasta una diferencia de longitud de 3 grados, lo que corresponde a una distancia de 334  km del meridiano central en el ecuador, pero de tan solo 35  km en el límite norte de una zona UTM. Por lo tanto, la serie de Krüger -n es mucho mejor que la serie de Redfearn λ .

La serie de Redfearn se vuelve mucho menos precisa a medida que la zona se ensancha. Karney analiza Groenlandia como un ejemplo ilustrativo. Esta larga y estrecha masa continental se centra en los 42°O y, en su punto más ancho, se encuentra a no más de 750  km de ese meridiano, mientras que su longitud alcanza casi los 50 grados. La serie Krüger- n tiene una precisión de 1  mm, pero la versión de Redfearn de la serie Krüger- λ presenta un error máximo de 1  kilómetro.

La serie de octavo orden (en n ) de Karney tiene una precisión de 5  millas náuticas dentro de un radio de 3900  km del meridiano central.

Los valores de x e y se obtienen a partir de la latitud ( φ ) y la longitud ( λ ). Las proyecciones cilíndricas normales se describen en relación con un cilindro tangente al ecuador, cuyo eje y coincide con el eje polar de la esfera. La línea del ecuador corresponde al eje x , por lo que el valor de la coordenada x es proporcional a λ .

Las proyecciones cilíndricas se construyen de manera que todos los puntos de un meridiano se proyectan a puntos con${\displaystyle x=a\lambda }$(dónde${\displaystyle a}$es el radio de la Tierra ) y${\displaystyle y}$es una función prescrita de${\displaystyle \phi }$. Para una proyección tangente de Mercator normal, las fórmulas (únicas) que garantizan la conformidad son: ^{[ 27 ]}$${\displaystyle x=a\lambda \,,\qquad y=a\ln \left[\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\varphi }{2}}\right)\right]={\frac {a}{2}}\ln \left[{\frac {1+\sin \varphi }{1-\sin \varphi }}\right].}$$ La conformabilidad implica que la escala del punto , k , es independiente de la dirección: es una función únicamente de la latitud: $${\displaystyle k(\varphi )=\sec \varphi .\,}$$ Para la versión secante de la proyección hay un factor k ₀ en el lado derecho de todas estas ecuaciones: esto asegura que la escala sea igual a k ₀ en el ecuador.

La figura de la izquierda muestra la relación entre un cilindro transversal y la retícula convencional en la esfera. Es tangente a un meridiano elegido arbitrariamente y su eje es perpendicular al de la esfera. Los ejes x e y definidos en la figura se relacionan con el ecuador y el meridiano central de la misma manera que en la proyección normal. En la figura de la derecha, una retícula rotada se relaciona con el cilindro transversal de la misma forma que el cilindro normal se relaciona con la retícula estándar. El ecuador, los polos (este y oeste) y los meridianos de la retícula rotada se identifican con el meridiano central elegido, puntos del ecuador situados a 90 grados al este y al oeste del meridiano central, y círculos máximos que pasan por esos puntos.

La posición de un punto arbitrario ( φ , λ ) en la retícula estándar también puede identificarse en términos de ángulos en la retícula rotada: φ′ (ángulo M′CP ) es una latitud efectiva y −λ ′ (ángulo M′CO ) se convierte en una longitud efectiva. (El signo negativo es necesario para que ( φ′ , λ′ ) se relacionen con la retícula rotada de la misma manera que ( φ , λ ) se relacionan con la retícula estándar). Los ejes cartesianos ( x′ , y′ ) se relacionan con la retícula rotada de la misma manera que los ejes ( x , y ) se relacionan con la retícula estándar.

La proyección tangente transversal de Mercator define las coordenadas ( x′ , y′ ) en términos de − λ′ y φ′ mediante las fórmulas de transformación de la proyección tangente normal de Mercator: $${\displaystyle x'=-a\lambda '\,\qquad y'={\frac {a}{2}}\ln \left[{\frac {1+\sin \varphi '}{1-\sin \varphi '}}\right].}$$ Esta transformación proyecta el meridiano central como una línea recta de longitud finita y, al mismo tiempo, proyecta los círculos máximos que pasan por el este y el oeste (incluido el ecuador) como líneas rectas infinitas perpendiculares al meridiano central. Los paralelos y meridianos verdaderos (aparte del ecuador y el meridiano central) no guardan una relación sencilla con la cuadrícula rotada y se proyectan como curvas complejas.

Los ángulos de las dos retículas se relacionan mediante trigonometría esférica en el triángulo esférico NM′P definido por el meridiano verdadero que pasa por el origen, OM′N , el meridiano verdadero que pasa por un punto arbitrario, MPN , y el círculo máximo WM′PE . Los resultados son: ^{[ 27 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\sin \varphi '&=\sin \lambda \cos \varphi ,\\\tan \lambda '&=\sec \lambda \tan \varphi .\end{aligned}}}$$

Las fórmulas directas que dan las coordenadas cartesianas ( x , y ) se derivan inmediatamente de lo anterior. Haciendo x  = y′  e y  =  −x ′ (y restaurando los factores de k ₀ para acomodar versiones secantes) $${\displaystyle {\begin{aligned}x(\lambda ,\varphi )&={\frac {1}{2}}k_{0}a\ln \left[{\frac {1+\sin \lambda \cos \varphi }{1-\sin \lambda \cos \varphi }}\right],\\[5px]y(\lambda ,\varphi )&=k_{0}a\arctan \left[\sec \lambda \tan \varphi \right],\end{aligned}}}$$ Las expresiones anteriores se dan en Lambert ^{[ 1 ]} y también (sin derivaciones) en Snyder, ^{[ 13 ]} Maling ^{[ 28 ]} y Osborne ^{[ 27 ]} (con detalles completos).

Invirtiendo las ecuaciones anteriores se obtiene $${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda (x,y)&=\arctan \left[\sinh {\frac {x}{k_{0}a}}\sec {\frac {y}{k_{0}a}}\right],\\[5px]\varphi (x,y)&=\arcsin \left[{\mbox{sech}}\;{\frac {x}{k_{0}a}}\sin {\frac {y}{k_{0}a}}\right].\end{aligned}}}$$

En términos de las coordenadas con respecto a la retícula rotada, el factor de escala del punto viene dado por k  =  sec φ′  : esto puede expresarse en términos de las coordenadas geográficas o en términos de las coordenadas de proyección: $${\displaystyle {\begin{aligned}k(\lambda ,\varphi )&={\frac {k_{0}}{\sqrt {1-\sin ^{2}\lambda \cos ^{2}\varphi }}},\\[5px]k(x,y)&=k_{0}\cosh \left({\frac {x}{k_{0}a}}\right).\end{aligned}}}$$ La segunda expresión muestra que el factor de escala es simplemente una función de la distancia al meridiano central de la proyección. Un valor típico del factor de escala es k₀ = _0,9996 ,   de modo que k  =  1 cuando x es aproximadamente 180  km. Cuando x es aproximadamente 255  km y k₀ = _1,0004 , el factor de escala se encuentra dentro del 0,04 % de la   unidad en una franja de unos 510  km de ancho.

El ángulo de convergencia γ en un punto de la proyección se define por el ángulo medido desde el meridiano proyectado, que define el norte verdadero, hasta una línea de cuadrícula de x constante , que define el norte de la cuadrícula. Por lo tanto, γ es positivo en el cuadrante al norte del ecuador y al este del meridiano central, y también en el cuadrante al sur del ecuador y al oeste del meridiano central. La convergencia debe sumarse a un rumbo de cuadrícula para obtener un rumbo desde el norte verdadero. Para la proyección secante transversal de Mercator, la convergencia puede expresarse ^{[ 27 ]} en términos de las coordenadas geográficas o en términos de las coordenadas de proyección: $${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma (\lambda ,\varphi )&=\arctan(\tan \lambda \sin \varphi ),\\[5px]\gamma (x,y)&=\arctan \left(\tanh {\frac {x}{k_{0}a}}\tan {\frac {y}{k_{0}a}}\right).\end{aligned}}}$$