Segundo momento del área

El segundo momento de área , o segundo momento de área , o momento cuadrático de área y también conocido como momento de inercia de área , es una propiedad geométrica de un área que refleja cómo se distribuyen sus puntos con respecto a un eje arbitrario. El segundo momento de área se denota típicamente con una $I$ (para un eje que se encuentra en el plano del área) o con un $J$ (para un eje perpendicular al plano). En ambos casos, se calcula con una integral múltiple sobre el objeto en cuestión. Su dimensión es L (longitud) a la cuarta potencia . Su unidad de dimensión, cuando se trabaja con el Sistema Internacional de Unidades , es metros a la cuarta potencia, m⁴ , o pulgadas a la cuarta potencia, in⁴ ^, cuando se trabaja con el Sistema Imperial de Unidades o el sistema de unidades ^{estadounidense} .

En ingeniería estructural , el momento de inercia de una viga es una propiedad importante que se utiliza para calcular la deflexión de la viga y la tensión producida por un momento aplicado a la misma. Para maximizar el momento de inercia, una gran parte del área de la sección transversal de una viga en I se ubica a la máxima distancia posible del centroide de su sección transversal. El momento de inercia planar proporciona información sobre la resistencia de una viga a la flexión debida a un momento, fuerza o carga distribuida aplicada perpendicularmente a su eje neutro , en función de su forma. El momento de inercia polar proporciona información sobre la resistencia de una viga a la torsión debida a un momento aplicado paralelo a su sección transversal, en función de su forma.

Diferentes disciplinas utilizan el término momento de inercia (MOI) para referirse a diferentes momentos . Puede referirse a cualquiera de los segundos momentos de área planares (a menudo ${\textstyle I_{x}=\iint _ {R}y^{2}\,dA}$ o ${\textstyle I_{y}=\iint _ {R}x^{2}\,dA,}$ con respecto a algún plano de referencia), o el segundo momento polar de área ( ${\textstyle I=\iint _ {R}r^{2}\,dA}$ donde r es la distancia a algún eje de referencia). En cada caso, la integral se realiza sobre todos los elementos infinitesimales de área , dA , en alguna sección transversal bidimensional. En física , el momento de inercia es estrictamente el segundo momento de masa con respecto a la distancia a un eje: ${\textstyle I=\int _{Q}r^{2}dm}$ donde r es la distancia a algún eje de rotación potencial, y la integral se realiza sobre todos los elementos infinitesimales de masa , dm , en un espacio tridimensional ocupado por un objeto $Q.$ El momento de inercia, en este sentido, es el análogo de la masa para problemas de rotación. En ingeniería (especialmente mecánica y civil), el momento de inercia se refiere comúnmente al segundo momento del área. ^[¹^]

Definición

El segundo momento de área para una forma arbitraria $R$ con respecto a un eje arbitrario. $BB'$ ( $BB'$ El eje no está dibujado en la imagen adyacente; es un eje coplanar con los ejes x e y y es perpendicular al segmento de línea. $\rho$ ) se define como $J_{BB'}=\iint _ {R}{\rho }^{2}\,dA$ dónde

$dA$ es el elemento de área infinitesimal, y
$\rho$ es la distancia desde el $BB'$ eje. ^{[ 2 ]}

Por ejemplo, cuando el eje de referencia deseado es el eje x, el segundo momento de área $I_{xx}$ (a menudo se denota como $I_{x}$ ) se puede calcular en coordenadas cartesianas como

$I_{x}=\iint _ {R}y^{2}\,dx\,dy$

El segundo momento del área es crucial en la teoría de Euler-Bernoulli para vigas esbeltas.

Momento del producto del área

De manera más general, el momento de producto de área se define como ^{[ 3 ].} $I_{xy}=\iint _{R}yx\,dx\,dy$

Teorema de los ejes paralelos

A veces es necesario calcular el segundo momento de área de una figura con respecto a un $x'$ eje diferente al eje centroidal de la figura. Sin embargo, a menudo es más fácil derivar el segundo momento de área con respecto a su eje centroidal, $x$ y utilizar el teorema de los ejes paralelos para derivar el segundo momento de área con respecto al $x'$ eje. El teorema de los ejes paralelos establece $I_{x'}=I_{x}+Ad^{2}$ dónde

$A$ es el área de la figura, y
$d$ es la distancia perpendicular entre los $x$ y $x'$ ejes. ^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}

Se puede hacer una afirmación similar sobre un $y'$ eje y el centroide paralelo $y$ eje. O, en general, cualquier centroide $B$ eje y un paralelo $B'$ eje.

Teorema del eje perpendicular

Para simplificar los cálculos, a menudo se desea definir el momento polar de área (con respecto a un eje perpendicular) en términos de dos momentos de inercia de área (ambos con respecto a ejes en el plano). El caso más simple relaciona $J_{z}$ a $I_{x}$ y $I_{y}$ .

$J_{z}=\iint _{R}\rho ^{2}\,dA=\iint _{R}\left(x^{2}+y^{2}\right)dA=\iint _{R}x^{2}\,dA+\iint _{R}y^{2}\,dA=I_{x}+I_{y}$

Esta relación se basa en el teorema de Pitágoras que relaciona $x$ y $y$ a $\rho$ y sobre la linealidad de la integración .

Formas compuestas

Para áreas más complejas, suele ser más sencillo dividirlas en una serie de formas más simples. El momento de inercia de la forma completa es la suma de los momentos de inercia de todas sus partes respecto a un eje común. Esto puede incluir formas faltantes (por ejemplo, agujeros, huecos, etc.), en cuyo caso se restan los momentos de inercia de las áreas faltantes, en lugar de sumarlos. En otras palabras, los momentos de inercia de las partes faltantes se consideran negativos para el método de formas compuestas.

Ejemplos

Consulte la lista de segundos momentos de área para otras formas.

Rectángulo con centroide en el origen

Consideremos un rectángulo con base $b$ y altura $h$ cuyo centroide se encuentra en el origen. $I_{x}$ representa el segundo momento de área con respecto al eje x; $I_{y}$ representa el segundo momento de área con respecto al eje y; $J_{z}$ representa el momento polar de inercia con respecto al eje z.

${\begin{aligned}I_{x}&=\iint _{R}y^{2}\,dA=\int _{-{\frac {b}{2}}}^{\frac {b}{2}}\int _{-{\frac {h}{2}}}^{\frac {h}{2}}y^{2}\,dy\,dx=\int _{-{\frac {b}{2}}}^{\frac {b}{2}}{\frac {1}{3}}{\frac {h^{3}}{4}}\,dx={\frac {bh^{3}}{12}}\\I_{y}&=\iint _{R}x^{2}\,dA=\int _{-{\frac {b}{2}}}^{\frac {b}{2}}\int _{-{\frac {h}{2}}}^{\frac {h}{2}}x^{2}\,dy\,dx=\int _{-{\frac {b}{2}}}^{\frac {b}{2}}hx^{2}\,dx={\frac {b^{3}h}{12}}\end{aligned}}$

Utilizando el teorema del eje perpendicular obtenemos el valor de $J_{z}$ .

$J_{z}=I_{x}+I_{y}={\frac {bh^{3}}{12}}+{\frac {hb^{3}}{12}}={\frac {bh}{12}}\left(b^{2}+h^{2}\right)$

Anillo centrado en el origen

Consideremos un anillo cuyo centro está en el origen y cuyo radio exterior es $r_{2}$ y el radio interior es $r_{1}$ Debido a la simetría del anillo, el centroide también se encuentra en el origen. Podemos determinar el momento polar de inercia, $J_{z}$ , sobre el $z$ eje por el método de formas compuestas. Este momento polar de inercia es equivalente al momento polar de inercia de un círculo con radio $r_{2}$ menos el momento polar de inercia de un círculo con radio $r_{1}$ , ambos centrados en el origen. Primero, derivemos el momento polar de inercia de un círculo con radio $r$ con respecto al origen. En este caso, es más fácil calcular directamente $J_{z}$ como ya tenemos $r^{2}$ , que tiene tanto un $x$ y $y$ componente. En lugar de obtener el segundo momento de área a partir de coordenadas cartesianas como se hizo en la sección anterior, calcularemos $I_{x}$ y $J_{z}$ directamente utilizando coordenadas polares .

${\begin{aligned}I_{x,{\text{circle}}}&=\iint _{R}y^{2}\,dA=\iint _{R}\left(r\sin {\theta }\right)^{2}\,dA=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{r}\left(r\sin {\theta }\right)^{2}\left(r\,dr\,d\theta \right)\\&=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{r}r^{3}\sin ^{2}{\theta }\,dr\,d\theta =\int _{0}^{2\pi }{\frac {r^{4}\sin ^{2}{\theta }}{4}}\,d\theta ={\frac {\pi }{4}}r^{4}\\J_{z,{\text{circle}}}&=\iint _{R}r^{2}\,dA=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{r}r^{2}\left(r\,dr\,d\theta \right)=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{r}r^{3}\,dr\,d\theta \\&=\int _{0}^{2\pi }{\frac {r^{4}}{4}}\,d\theta ={\frac {\pi }{2}}r^{4}\end{aligned}}$

Ahora, el momento polar de inercia alrededor del $z$ El eje para un anillo es simplemente, como se indicó anteriormente, la diferencia de los segundos momentos de área de un círculo con radio $r_{2}$ y un círculo con radio $r_{1}$ .

$J_{z}=J_{z,r_{2}}-J_{z,r_{1}}={\frac {\pi }{2}}r_{2}^{4}-{\frac {\pi }{2}}r_{1}^{4}={\frac {\pi }{2}}\left(r_{2}^{4}-r_{1}^{4}\right)$

Alternativamente, podríamos cambiar los límites en el $dr$ integral la primera vez para reflejar el hecho de que hay un agujero. Esto se haría así.

${\begin{aligned}J_{z}&=\iint _{R}r^{2}\,dA=\int _{0}^{2\pi }\int _{r_{1}}^{r_{2}}r^{2}\left(r\,dr\,d\theta \right)=\int _{0}^{2\pi }\int _{r_{1}}^{r_{2}}r^{3}\,dr\,d\theta \\&=\int _{0}^{2\pi }\left[{\frac {r_{2}^{4}}{4}}-{\frac {r_{1}^{4}}{4}}\right]\,d\theta ={\frac {\pi }{2}}\left(r_{2}^{4}-r_{1}^{4}\right)\end{aligned}}$

Cualquier polígono

{\displaystyle n=6} — Un polígono simple. Aquí, $n=6$ , observe que el punto "7" es idéntico al punto 1.

El segundo momento de área respecto al origen de cualquier polígono simple en el plano XY se puede calcular, en general, sumando las contribuciones de cada segmento del polígono tras dividir el área en un conjunto de triángulos. Esta fórmula está relacionada con la fórmula del cordón de zapato y puede considerarse un caso particular del teorema de Green .

Se supone que un polígono tiene $n$ vértices, numerados en sentido contrario a las agujas del reloj. Si los vértices del polígono se numeran en el sentido de las agujas del reloj, los valores devueltos serán negativos, pero los valores absolutos serán correctos.

${\begin{aligned}I_{y}&={\frac {1}{12}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}\right)\left(x_{i}^{2}+x_{i}x_{i+1}+x_{i+1}^{2}\right)\\I_{x}&={\frac {1}{12}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}\right)\left(y_{i}^{2}+y_{i}y_{i+1}+y_{i+1}^{2}\right)\\I_{xy}&={\frac {1}{24}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}\right)\left(x_{i}y_{i+1}+2x_{i}y_{i}+2x_{i+1}y_{i+1}+x_{i+1}y_{i}\right)\end{aligned}}$

dónde $x_{i},y_{i}$ son las coordenadas de la $i$ vértice del polígono -ésimo, para $1\leq i\leq n$ . También, $x_{n+1},y_{n+1}$ se supone que son iguales a las coordenadas del primer vértice, es decir, $x_{n+1}=x_{1}$ y $y_{n+1}=y_{1}$ . ^{[ 6 ]}^{[ 7 ]}^{[ 8 ]}^{[ 9 ]}

Véase también

Referencias

↑ Beer, Ferdinand P. (2013). Mecánica vectorial para ingenieros (10.ª ed.). Nueva York: McGraw-Hill. pág. 471. ISBN 978-0-07-339813-6El término «segundo momento» es más apropiado que «momento de inercia», ya que, lógicamente, este último debería utilizarse únicamente para denotar integrales de masa (véase la sección 9.11). Sin embargo , en la práctica de la ingeniería, el término «momento de inercia» se utiliza tanto para áreas como para masas.
↑ Pilkey, Walter D. (2002). Análisis y diseño de vigas elásticas . John Wiley & Sons, Inc. pág . 15. ISBN 978-0-471-38152-5.
↑ Beer, Ferdinand P. (2013). «Capítulo 9.8: Producto de inercia». Mecánica vectorial para ingenieros (10.ª ed.). Nueva York: McGraw-Hill. pág. 495. ISBN 978-0-07-339813-6.
↑ Hibbeler, RC (2004). Estática y mecánica de materiales (Segunda edición). Pearson Prentice Hall. ISBN 0-13-028127-1.
↑ Beer, Ferdinand P. (2013). «Capítulo 9.6: Teorema de los ejes paralelos». Mecánica vectorial para ingenieros (10.ª ed.). Nueva York: McGraw-Hill. pág. 481. ISBN 978-0-07-339813-6.
↑ Hally, David (1987). Cálculo de los momentos de polígonos (PDF) (Informe técnico). Defensa Nacional Canadiense. Memorando técnico 87/209. Archivado (PDF) del original el 23 de marzo de 2020.
↑ Obregón, Joaquín (2012). Simetría mecánica . AuthorHouse. ISBN 978-1-4772-3372-6.
↑ Steger, Carsten (1996). "Sobre el cálculo de momentos arbitrarios de polígonos" (PDF) . S2CID 17506973. Archivado del original (PDF) el 3 de octubre de 2018.
↑ Soerjadi, Ir. R. (1968). "Sobre el cálculo de los momentos de un polígono, con algunas aplicaciones" .

[1] Beer, Ferdinand P. (2013). Mecánica vectorial para ingenieros (10.ª ed.). Nueva York: McGraw-Hill. pág. 471. ISBN 978-0-07-339813-6El término «segundo momento» es más apropiado que «momento de inercia», ya que, lógicamente, este último debería utilizarse únicamente para denotar integrales de masa (véase la sección 9.11). Sin embargo , en la práctica de la ingeniería, el término «momento de inercia» se utiliza tanto para áreas como para masas.

[2] Pilkey, Walter D. (2002). Análisis y diseño de vigas elásticas . John Wiley & Sons, Inc. pág . 15. ISBN 978-0-471-38152-5.

[3] Beer, Ferdinand P. (2013). «Capítulo 9.8: Producto de inercia». Mecánica vectorial para ingenieros (10.ª ed.). Nueva York: McGraw-Hill. pág. 495. ISBN 978-0-07-339813-6.

[4] Hibbeler, RC (2004). Estática y mecánica de materiales (Segunda edición). Pearson Prentice Hall. ISBN 0-13-028127-1.

[5] Beer, Ferdinand P. (2013). «Capítulo 9.6: Teorema de los ejes paralelos». Mecánica vectorial para ingenieros (10.ª ed.). Nueva York: McGraw-Hill. pág. 481. ISBN 978-0-07-339813-6.

[6] Hally, David (1987). Cálculo de los momentos de polígonos (PDF) (Informe técnico). Defensa Nacional Canadiense. Memorando técnico 87/209. Archivado (PDF) del original el 23 de marzo de 2020.

[7] Obregón, Joaquín (2012). Simetría mecánica . AuthorHouse. ISBN 978-1-4772-3372-6.

[8] Steger, Carsten (1996). "Sobre el cálculo de momentos arbitrarios de polígonos" (PDF) . S2CID 17506973. Archivado del original (PDF) el 3 de octubre de 2018.

[9] Soerjadi, Ir. R. (1968). "Sobre el cálculo de los momentos de un polígono, con algunas aplicaciones" .

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