Cero final

Un cero final es cualquier dígito 0 que aparece después del último dígito distinto de cero en una cadena numérica en notación posicional . Para los dígitos anteriores al punto decimal, los ceros finales entre el punto decimal y el último dígito distinto de cero son necesarios para transmitir la magnitud de un número y no se pueden omitir (p. ej., 100), mientras que los ceros iniciales (los ceros que aparecen antes del punto decimal y antes del primer dígito distinto de cero) se pueden omitir sin cambiar el significado (p. ej., 001). Cualquier cero que aparezca a la derecha del último dígito distinto de cero después del punto decimal no afecta su valor (p. ej., 0.100). Por lo tanto, la notación decimal a menudo no utiliza ceros finales que aparecen después del punto decimal. Sin embargo, los ceros finales que aparecen después del punto decimal se pueden utilizar para indicar el número de cifras significativas , por ejemplo, en una medición, y en ese contexto, "simplificar" un número eliminando los ceros finales sería análogo al redondeo , ya que reduce la precisión; Por ejemplo, 12,00 excluye la posibilidad de que el número sea un redondeo de 12,34, mientras que 12 no.

El número de ceros finales en un entero n de base b distinto de cero es igual al exponente de la mayor potencia de b que divide a n . Por ejemplo, 14000 tiene tres ceros finales y, por lo tanto, es divisible por 1000 = 10³ ^, pero no por 10⁴ ^. Esta propiedad es útil al buscar factores pequeños en la factorización de enteros . Algunas arquitecturas de computadoras tienen una operación de conteo de ceros finales en su conjunto de instrucciones para determinar de manera eficiente el número de bits cero finales en una palabra de máquina.

En farmacia , se omiten los ceros finales de los valores de dosis para evitar lecturas erróneas.

El número de ceros finales en la representación decimal de n !, el factorial de un entero no negativo n , es simplemente la multiplicidad del factor primo 5 en n !. Esto se puede determinar con este caso especial de la fórmula de de Polignac : ^{[ 1 ]} 

${\displaystyle f(n)=\sum _{i=1}^{k}\left\lfloor {\frac {n}{5^{i}}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {n}{5}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n}{5^{2}}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n}{5^{3}}}\right\rfloor +\cdots +\left\lfloor {\frac {n}{5^{k}}}\right\rfloor ,\,}$

donde k debe elegirse de tal manera que

${\displaystyle 5^{k+1}>n,\,}$

más precisamente

${\displaystyle 5^{k}\leq n<5^{k+1},}$

${\displaystyle k=\left\lfloor \log _{5}n\right\rfloor ,}$

y${\displaystyle \lfloor a\rfloor }$denota la función piso aplicada a a . Para n  =  0,  1,  2,  ... esto es

0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 6, ... (secuencia A027868 en el OEIS ) .

Por ejemplo, 5 ³  >  32, y por lo tanto  32!  =  263130836933693530167218012160000000 termina en

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {32}{5}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {32}{5^{2}}}\right\rfloor =6+1=7\,}$

ceros. Si n  <  5, la desigualdad se satisface con k  =  0; en ese caso la suma es vacía , lo que da como resultado  0.

La fórmula en realidad cuenta el número de factores  5 en n !, pero como hay al menos la misma cantidad de factores  2, esto es equivalente al número de factores 10, cada uno de los cuales da un cero final más.

Definición

${\displaystyle q_{i}=\left\lfloor {\frac {n}{5^{i}}}\right\rfloor ,\,}$

Se cumple la siguiente relación de recurrencia :

${\displaystyle {\begin{aligned}q_{0}\,\,\,\,\,&=\,\,\,n,\quad \\q_{i+1}&=\left\lfloor {\frac {q_{i}}{5}}\right\rfloor .\,\end{aligned}}}$

Esto puede usarse para simplificar el cálculo de los términos de la suma, que puede detenerse tan pronto como q  _i llegue a cero. La condición 5 ^{k +1} > n es equivalente a q _{k +1} = 0. 

• Dígito final

• ¿Por qué son importantes los ceros fraccionarios finales? Vea algunos ejemplos de cuándo los ceros finales son significativos.
• Número de ceros finales para cualquier factorial. Programa en Python para calcular el número de ceros finales para cualquier factorial. Archivado el 22/02/2017 en Wayback Machine.