ecuación de oscilación

Un sistema de potencia consta de varias máquinas síncronas que operan de forma síncrona en todas las condiciones de funcionamiento. En condiciones normales de funcionamiento, la posición relativa del eje del rotor y el eje del campo magnético resultante es fija. El ángulo entre ambos se conoce como ángulo de potencia , ángulo de par o ángulo del rotor . Ante cualquier perturbación, el rotor desacelera o acelera con respecto a la fuerza magnetomotriz del entrehierro que gira síncronamente , generando un movimiento relativo. La ecuación que describe este movimiento relativo se conoce como ecuación de oscilación, que es una ecuación diferencial no lineal de segundo orden que describe la oscilación del rotor de la máquina síncrona. El intercambio de potencia entre el rotor mecánico y la red eléctrica debido a la oscilación del rotor (aceleración y desaceleración) se denomina respuesta inercial .

Un generador síncrono es accionado por un motor primario. La ecuación que rige el movimiento del rotor viene dada por: ^{[ 1 ]}$${\displaystyle J{\frac {d^{2}{\theta _{\text{m}}}}{dt^{2}}}=T_{a}=T_{\text{m}}-T_{\text{e}},}$$ dónde:

• ${\displaystyle J}$es el momento de inercia total de la masa del rotor en kg- ^m²
• ${\displaystyle \theta _{\text{m}}}$es la posición angular del rotor con respecto a un eje fijo en radianes (rad)
• ${\displaystyle t}$es el tiempo en segundos (s)
• ${\displaystyle T_{a}}$es el par acelerador neto , en N -m
• ${\displaystyle T_{\text{m}}}$es el par mecánico suministrado por el motor primario en N -m
• ${\displaystyle T_{\text{e}}}$es el par eléctrico de salida del alternador en N -m

Si se desprecian las pérdidas, la diferencia entre el par mecánico y el par eléctrico da como resultado el par acelerador neto.${\displaystyle T_{a}}$En estado estacionario, el par eléctrico es igual al par mecánico y, por lo tanto, la potencia de aceleración es cero. Durante este período, el rotor se mueve a velocidad síncrona.${\displaystyle \omega _{s}}$en rad/s. El par eléctrico${\displaystyle T_{\text{e}}}$corresponde a la potencia neta del entrehierro en la máquina y, por lo tanto, representa la potencia de salida total del generador más${\displaystyle |I|^{2}R}$pérdidas en el devanado de la armadura . ^{[ 2 ]}

La posición angular${\displaystyle \theta }$Se mide con un sistema de referencia estacionario. Al representarlo con respecto al sistema de referencia que gira sincrónicamente, se obtiene: $${\displaystyle \theta _{\text{m}}=\omega _{\text{sm}}t+\delta _{\text{m}},}$$ donde el ángulo de potencia mecánica${\displaystyle \delta _{m}}$es la posición angular con respecto al sistema de referencia que gira sincrónicamente. La derivada de la ecuación anterior con respecto al tiempo es: $${\displaystyle {\frac {d\theta _{\text{m}}}{dt}}=\omega _{\text{sm}}+{\frac {d\delta _{\text{m}}}{dt}}.}$$ Las ecuaciones anteriores muestran que la velocidad angular del rotor es igual a la velocidad síncrona solo cuando${\displaystyle d\delta _{m}/dt}$es igual a cero. Por lo tanto, el término${\displaystyle d\delta _{m}/dt}$representa la desviación de la velocidad del rotor respecto al sincronismo en rad/s.

Al tomar la segunda derivada de la ecuación anterior, se obtiene: $${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta _{\text{m}}}{dt^{2}}}={\frac {d^{2}\delta _{\text{m}}}{dt^{2}}}.}$$ Sustituyendo la ecuación anterior en la ecuación del movimiento del rotor se obtiene: $${\displaystyle J{\frac {d^{2}{\delta _{\text{m}}}}{dt^{2}}}=T_{a}=T_{\text{m}}-T_{\text{e}}.}$$ Multiplicando ambos lados por la velocidad angular del rotor, dada por $${\displaystyle \omega _{\text{m}}={\frac {d\theta _{\text{m}}}{dt}},}$$ resultados en $${\displaystyle J\omega _{\text{m}}{\frac {d^{2}{\delta _{\text{m}}}}{dt^{2}}}=P_{a}=P_{\text{m}}-P_{\text{e}},}$$ dónde${\displaystyle P_{a}}$,${\displaystyle P_{\text{m}}}$y${\displaystyle P_{\text{e}}}$son respectivamente la potencia de aceleración, mecánica y eléctrica ( activa ) en vatios (W). Intuitivamente, la ecuación también se puede derivar tomando la derivada temporal de la energía rotacional .

El coeficiente${\displaystyle J\omega _{\text{m}}}$es el momento angular del rotor a velocidad síncrona${\displaystyle \omega _{\text{sm}}}$En los datos de máquina proporcionados para estudios de estabilidad, este coeficiente se suele denotar por${\displaystyle M}$y se denomina constante de inercia de la máquina. En la práctica,${\displaystyle \omega _{\text{m}}}$no difiere significativamente de la velocidad síncrona cuando la máquina está en estado estacionario.${\displaystyle \omega _{\text{sm}}}$; permitiendo otra constante de inercia: ^{[ 3 ]}$${\displaystyle H={\frac {{\frac {1}{2}}J\omega _{\text{sm}}^{2}}{S_{\text{rated}}}}={\frac {{\frac {1}{2}}M\omega _{\text{sm}}}{S_{\text{rated}}}}={\frac {\text{energía cinética almacenada en megajulios a velocidad síncrona}}{\text{potencia nominal de la máquina en MVA}}},}$$ dónde${\displaystyle S_{\text{clasificado}}}$es la potencia trifásica de la máquina en MVA . Sustituyendo en la ecuación anterior $${\displaystyle 2H{\frac {S_{\text{rated}}}{\omega _{\text{sm}}^{2}}}\omega _{\text{m}}{\frac {d^{2}{\delta _{\text{m}}}}{dt^{2}}}=P_{\text{m}}-P_{\text{e}}=P_{a}.}$$ Desde${\displaystyle P_{\text{m}}}$,${\displaystyle P_{\text{e}}}$y${\displaystyle P_{a}}$En los datos de la máquina se dan en MW, al dividirlos por la potencia nominal del generador en MVA se obtienen estas cantidades en por unidad. Dividiendo la ecuación anterior en ambos lados por${\displaystyle S_{\text{clasificado}}}$da

con el ángulo de potencia eléctrica y la velocidad angular eléctrica dados por $${\displaystyle \delta ={\frac {p}{2}}\delta _{m},\qquad \omega ={\frac {p}{2}}\omega _{m},\qquad \omega _{s}={\frac {p}{2}}\omega _{sm},}$$ dónde${\displaystyle p}$es el número de polos de la máquina síncrona.

La ecuación anterior describe el comportamiento de la dinámica del rotor y, por lo tanto, se conoce como la ecuación de oscilación . El ángulo${\displaystyle \delta }$es la del campo electromagnético interno${\displaystyle (E)}$del generador síncrono y determina la cantidad de potencia que se puede transferir. Este ángulo se denomina, por lo tanto, ángulo de potencia . Si se desprecian las pérdidas resistivas de la máquina, la ecuación del ángulo de potencia correspondiente es: ^{[ 4 ]}$${\displaystyle P_{e}=P_{max}\sin(\delta )=3{\frac {|V||E|}{X}}\sin(\delta ),}$$ dónde${\displaystyle X}$es la reactancia de la máquina y${\displaystyle V}$la tensión del sistema (es decir, de la red). ^{[ 5 ]} El ángulo${\displaystyle \delta }$También se le conoce como ángulo de torsión o par eléctrico.${\displaystyle T_{e}}$se puede derivar de esta ecuación como ^{[ 6 ]}$${\displaystyle T_{e}={\frac {P_{e}}{\omega _{m}}}=3{\frac {|V||E|}{\omega _{m}X}}\sin(\delta ).}$$ Por lo tanto, para las máquinas síncronas la ecuación de oscilación es una función no lineal de${\displaystyle \delta }$y se puede resolver numéricamente utilizando, por ejemplo, el algoritmo de Runge-Kutta de cuarto orden . Cuando${\displaystyle \delta }$es pequeño, la ecuación se puede linealizar como${\displaystyle P_{e}\approx P_{max}\delta }$. ^{[ 7 ]}

• Motor eléctrico §  Principios de funcionamiento
• Sincronizador

• Chapman, Stephen J. (2011). Fundamentos de maquinaria eléctrica . McGraw-Hill Education. ISBN 978-0-07-352954-7.
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• Guru, Bhag S.; Hiziroǧlu, Hüseyin R. (2001). Maquinaria eléctrica y transformadores . Nueva York: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-513890-0OCLC 43286555​​ 
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• Schavemaker, P.; van der Sluis, L. (2008). Conceptos básicos del sistema de energía eléctrica . Chichester, Inglaterra; Hoboken, Nueva Jersey: Wiley. ISBN 978-0-470-51027-8. OCLC 193911699 . 
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