Inductores y transformadores toroidales

La ausencia de corriente circunferencial ^{[ 4 ]} (la trayectoria de la corriente circunferencial se indica con la flecha roja en la figura 3 de esta sección) y la disposición axialmente simétrica de los conductores y materiales magnéticos ^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]} son ​​condiciones suficientes para el confinamiento interno total del campo B. (Algunos autores prefieren usar el campo H ). Debido a la simetría, las líneas de flujo B deben formar círculos de intensidad constante centrados en el eje de simetría. Las únicas líneas de flujo B que rodean alguna corriente son las que se encuentran dentro del devanado toroidal. Por lo tanto, según la ley circuital de Ampère, la intensidad del campo B debe ser cero fuera de los devanados. ^{[ 6 ]}

La figura 3 de esta sección muestra el devanado toroidal más común. No cumple con ambos requisitos para el confinamiento total del campo B. Visto desde el eje, a veces el devanado está en el interior del núcleo y otras veces en el exterior. No es axialmente simétrico en la región cercana. Sin embargo, en puntos a una distancia varias veces mayor que el espaciado del devanado, el toroide sí parece simétrico. ^{[ 7 ]} Todavía existe el problema de la corriente circunferencial. No importa cuántas veces el devanado rodee el núcleo ni cuán delgado sea el alambre, este inductor toroidal seguirá incluyendo una espira de una bobina en el plano del toroide. Este devanado también producirá y será susceptible a un campo E en el plano del inductor.

Las figuras 4 a 6 muestran diferentes maneras de neutralizar la corriente circunferencial. La figura 4 es la más sencilla y tiene la ventaja de que el cable de retorno se puede añadir después de comprar o construir el inductor.

Se producirá una distribución de potencial a lo largo del devanado. Esto puede generar un campo eléctrico en el plano del toroide y, además, una susceptibilidad a dicho campo , como se muestra en la figura 7. Este problema se puede mitigar utilizando un devanado de retorno, como se muestra en la figura 8. Con este devanado, en cada punto donde se cruza, las dos partes tendrán polaridad igual y opuesta, lo que reduce sustancialmente el campo eléctrico generado en el plano.

Consulte los capítulos 14 ^{[ 8 ]} y 15 ^{[ 9 ]} de Feynman para una discusión general sobre el potencial vectorial magnético . Consulte las páginas 15-11 ^{[ 10 ]} de Feynman para ver un diagrama del potencial vectorial magnético alrededor de un solenoide largo y delgado que también presenta un confinamiento interno total del campo B , al menos en el límite infinito.

El campo A es preciso cuando se utiliza la suposición${\displaystyle bf{A}=0}$Esto sería cierto bajo las siguientes suposiciones:

• 1. Se utiliza el medidor de Coulomb.
• 2. Se utiliza el medidor de Lorenz y no hay distribución de carga,${\displaystyle \rho =0\,}$
• 3. Se utiliza el medidor de Lorenz y se asume una frecuencia cero.
• 4. Se utiliza el medidor de Lorenz y una frecuencia distinta de cero que es lo suficientemente baja como para ser despreciada.${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}}$se da por sentado.

Se presumirá el número 4 para el resto de esta sección y se podrá hacer referencia a él como la "condición cuasiestática".

Aunque el inductor toroidal de simetría axial sin corriente circunferencial confina totalmente el campo B dentro de los devanados, el campo A (potencial vectorial magnético) no está confinado. La flecha n.° 1 en la imagen representa el potencial vectorial en el eje de simetría. Las secciones de corriente radial a y b están a distancias iguales del eje, pero apuntan en direcciones opuestas, por lo que se cancelan. De igual manera, los segmentos c y d se cancelan. Todos los segmentos de corriente radial se cancelan. La situación para las corrientes axiales es diferente. La corriente axial en el exterior del toroide apunta hacia abajo y la corriente axial en el interior del toroide apunta hacia arriba. Cada segmento de corriente axial en el exterior del toroide puede coincidir con un segmento igual pero de dirección opuesta en el interior del toroide. Los segmentos del interior están más cerca del eje que los segmentos del exterior, por lo que existe una componente neta ascendente del campo A a lo largo del eje de simetría.

Dado que las ecuaciones${\displaystyle \nabla \times \mathbf {A} =\mathbf {B} \ }$, y ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {j} \ }$(suponiendo condiciones cuasiestáticas, es decir${\displaystyle {\frac {\partial E}{\partial t}}\rightarrow 0}$Si tienen la misma forma, entonces las líneas y contornos de A se relacionan con B como las líneas y contornos de B se relacionan con j . Por lo tanto, una representación del campo A alrededor de un bucle de flujo B (como el que se produciría en un inductor toroidal) es cualitativamente la misma que el campo B alrededor de un bucle de corriente. La figura de la izquierda es una representación artística del campo A alrededor de un inductor toroidal. Las líneas más gruesas indican trayectorias de mayor intensidad promedio (las trayectorias más cortas tienen mayor intensidad, por lo que la integral de trayectoria es la misma). Las líneas se dibujan simplemente para que se vean bien y para dar una idea general del aspecto del campo A.

Los campos E y B se pueden calcular a partir de A y${\displaystyle \phi \,}$campos (de potencial eléctrico escalar)

${\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} .}$^{[ 11 ]} y :${\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}}$^{[ 11 ]} y por lo tanto, incluso si la región fuera de los devanados está desprovista deB, está llena deE.

La cantidad${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}}$es responsable del acoplamiento deseable del campo magnético entre primario y secundario, mientras que la cantidad${\displaystyle \nabla \phi \,}$es responsable del acoplamiento de campo eléctrico indeseado entre el primario y el secundario. Los diseñadores de transformadores intentan minimizar el acoplamiento de campo eléctrico. Para el resto de esta sección,${\displaystyle \nabla \phi \,}$Se asumirá que es cero a menos que se especifique lo contrario.

Se aplica el teorema de Stokes , ^{[ 12 ]} de modo que la integral de trayectoria de A es igual al flujo B encerrado , así como la integral de trayectoria de B es igual a una constante multiplicada por la corriente encerrada.

La integral de trayectoria de E a lo largo del devanado secundario proporciona la fuerza electromotriz (FEM) inducida en el secundario.

${\displaystyle \mathbf {EMF} =\oint _{path}\mathbf {E} \cdot {\rm {d}}l=-\oint _{path}{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\cdot {\rm {d}}l=-{\frac {\partial }{\partial t}}\oint _{path}\mathbf {A} \cdot {\rm {d}}l=-{\frac {\partial }{\partial t}}\int _{surface}\mathbf {B} \cdot {\rm {d}}s}$

lo que dice que la FEM es igual a la tasa de cambio temporal del flujo B encerrado por el devanado, que es el resultado habitual.

Esta figura muestra la mitad de una sección transversal de un transformador toroidal. Se asumen condiciones cuasiestáticas, por lo que la fase de cada campo es la misma en todas partes. El transformador, sus bobinados y demás componentes están distribuidos simétricamente respecto al eje de simetría. Los bobinados están diseñados de tal manera que no existe corriente circunferencial. Se cumplen los requisitos para el confinamiento interno total del campo B debido a la corriente primaria. El núcleo y el bobinado primario están representados por el toroide gris-marrón. El bobinado primario no se muestra, pero la corriente en el bobinado en la superficie de la sección transversal se muestra como elipses doradas (o naranjas). El campo B causado por la corriente primaria está confinado a la región encerrada por el bobinado primario (es decir, el núcleo). Los puntos azules en la sección transversal izquierda indican que las líneas de flujo B en el núcleo salen de dicha sección. En la otra sección transversal, los signos de suma azules indican que el flujo B entra por ahí. El campo E generado por las corrientes primarias se muestra como elipses verdes. El devanado secundario se muestra como una línea marrón que desciende directamente por el eje de simetría. En la práctica habitual, los dos extremos del secundario se conectan con un cable largo que se mantiene alejado del toroide, pero para mantener la simetría axial absoluta, todo el aparato se concibe dentro de una esfera perfectamente conductora, con el cable secundario conectado a tierra en el interior de la esfera en cada extremo. El secundario está hecho de hilo resistivo, por lo que no hay carga independiente. El campo eléctrico a lo largo del secundario genera una corriente en este (flechas amarillas), que a su vez genera un campo magnético alrededor del secundario (representado por elipses azules). Este campo magnético llena el espacio, incluso dentro del núcleo del transformador, por lo que, al final, existe un campo magnético continuo distinto de cero desde el primario hasta el secundario, siempre que este último no esté en circuito abierto. El producto vectorial del campo eléctrico (generado por las corrientes primarias) y el campo magnético (generado por las corrientes secundarias) forma el vector de Poynting, que apunta desde el primario hacia el secundario.