Diamante de tonalidad

En teoría musical y afinación , un diamante de tonalidad es un diagrama bidimensional de razones en el que una dimensión se llama otonalidad y la otra utonalidad . ^{[ 1 ]} Así, el diamante de tonalidad de límite n (donde "límite" se refiere a límite impar, no a límite primo) es una disposición en forma de diamante del conjunto de números racionales r , , tal que la parte impar tanto del numerador como del denominador de r , cuando se reduce a su mínima expresión, es menor o igual que el número impar fijo n . De forma equivalente, el diamante puede considerarse como un conjunto de clases de altura , donde una clase de altura es una clase de equivalencia de alturas bajo la equivalencia de octava . El diamante de tonalidad se suele considerar como el conjunto de consonancias del límite n. Aunque fue inventado originalmente por Max Friedrich Meyer , ^{[ 2 ]} el diamante de tonalidad ahora se asocia más con Harry Partch ("Muchos teóricos de la entonación justa consideran que el diamante de tonalidad es la mayor contribución de Partch a la teoría microtonal." ^{[ 3 ]} ). ${\displaystyle 1\leq r<2}$

Partch dispuso los elementos del diamante de tonalidad en forma de rombo y los subdividió en (n+1) ² /4 rombos más pequeños. A lo largo del lado superior izquierdo del rombo se colocan los números impares del 1 al n, cada uno reducido a la octava (dividido por la potencia mínima de 2 tal que ). Estos intervalos se ordenan luego en orden ascendente. A lo largo del lado inferior izquierdo se colocan los recíprocos correspondientes, del 1 al 1/n, también reducidos a la octava (aquí, multiplicados por la potencia mínima de 2 tal que ). Estos se colocan en orden descendente. En todas las demás posiciones se coloca el producto de los intervalos diagonales superior e inferior izquierdos, reducidos a la octava. Esto da todos los elementos del diamante de tonalidad, con cierta repetición. Las diagonales inclinadas en una dirección forman otonalidades y las diagonales en la otra dirección forman utonalidades. Uno de los instrumentos de Partch, la marimba diamante , está dispuesto según la tonalidad diamante. ${\displaystyle 1\leq r<2}$${\displaystyle 1\leq r<2}$

Un nexo numerario es una identidad compartida por dos o más razones de intervalo en su numerador o denominador , con identidades diferentes en el otro. ^{[ 1 ]} Por ejemplo, en la otonalidad el denominador siempre es 1, por lo tanto, 1 es el nexo numerario:

${\displaystyle {\begin{array}{cccccc}{\frac {1}{1}}&{\frac {2}{1}}&{\frac {3}{1}}&{\frac {4}{1}}&{\frac {5}{1}}&\mathrm {etc.} \\&&({\frac {3}{2}})&&({\frac {5}{4}})\end{array}}}$

En la Utonalidad, el numerador siempre es 1 y, por lo tanto, el nexo numerario también es 1:

${\displaystyle {\begin{array}{cccccc}{\frac {1}{1}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{5}}&\mathrm {etc.} \\&&({\frac {4}{3}})&&({\frac {8}{5}})\end{array}}}$

Por ejemplo, en un diamante de tonalidad, como el diamante de límite 11 de Harry Partch , cada razón de una fila inclinada a la derecha comparte un numerador y cada razón de una fila inclinada a la izquierda comparte un denominador. Cada razón de la fila superior izquierda tiene 7 como denominador, mientras que cada razón de la fila superior derecha tiene 7 (o 14) como numerador.

Este diamante contiene tres identidades (1, 3, 5).

Este diamante contiene cuatro identidades (1, 3, 5, 7).

Este diamante contiene seis identidades (1, 3, 5, 7, 9, 11). Harry Partch utilizó el diamante de tonalidad límite 11, pero lo giró 90 grados.

Este diamante contiene ocho identidades (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15).

Los diamantes de tonalidad de cinco y siete límites exhiben una geometría altamente regular dentro del espacio modulatorio , lo que significa que todos los elementos no unísonos del diamante están a solo una unidad del unísono. El diamante de cinco límites se convierte entonces en un hexágono regular que rodea al unísono, y el diamante de siete límites en un cuboctaedro que lo rodea. Erv Wilson ha realizado otros ejemplos de retículos de diamantes que van desde el diamante triádico hasta el ogdoádico, donde a cada intervalo se le da su propia dirección única. ^{[ 4 ]}

Tres propiedades del diamante de tonalidad y las proporciones que contiene:

1. Todas las razones entre razones vecinas son razones superparticulares , aquellas con una diferencia de 1 entre numerador y denominador . ^{[ 5 ]}
2. Las razones con números relativamente más bajos tienen más espacio entre ellas que las razones con números más altos. ^{[ 5 ]}
3. El sistema, incluyendo las proporciones entre proporciones, es simétrico dentro de la octava cuando se mide en cents y no en proporciones. ^{[ 5 ]}

Por ejemplo:

1. La razón entre 6/5 y 5/4 ( y 8/5 y 5/3 ) es 25/24 .​​​​​​
2. Las proporciones con números relativamente bajos , 4/3 y 3/2 , están separadas por 203,91 centavos, mientras que las proporciones con números relativamente altos, 6/5 y 5/4 , están separadas por 70,67 centavos .
3. La relación entre la relación más baja y la segunda más baja, y entre la relación más alta y la segunda más alta, es la misma, y ​​así sucesivamente.

Si φ( n ) es la función totiente de Euler , que da el número de enteros positivos menores que n y coprimos con n, es decir, cuenta los enteros menores que n que no comparten ningún factor común con n, y si d(n) denota el tamaño del diamante de tonalidad límite n, tenemos la fórmula

${\displaystyle d(n)=\sum _{m<n\ odd}\phi (m).}$

De esto podemos concluir que la tasa de crecimiento del diamante de tonalidad es asintóticamente igual a . Los primeros valores son los importantes, y el hecho de que el tamaño del diamante crezca como el cuadrado del tamaño del límite impar nos dice que se hace grande con bastante rapidez. Hay siete miembros en el diamante de límite 5, 13 en el diamante de límite 7, 19 en el diamante de límite 9, 29 en el diamante de límite 11, 41 en el diamante de límite 13 y 49 en el diamante de límite 15; estos son suficientes para la mayoría de los propósitos. ${\displaystyle {\frac {2}{\pi ^{2}}}n^{2}}$

Yuri Landman publicó un diagrama de otonalidad y utonalidad que aclara la relación de los diamantes de tonalidad de Partch con la serie armónica y las longitudes de las cuerdas (como Partch también las usó en sus cítaras) y el instrumento Moodswinger de Landman . ^{[ 6 ]}

En las proporciones de Partch, el número superior corresponde a la cantidad de divisiones iguales de una cuerda vibrante y el número inferior a la división a la que se acorta la longitud de la cuerda. Por ejemplo , 5/4 se obtiene dividiendo la cuerda en 5 partes iguales y acortando su longitud a la cuarta parte desde abajo. En el diagrama de Landman , estos números se invierten, transformando las proporciones de frecuencia en proporciones de longitud de cuerda.

• Lattice (música)
• Flujo de tonalidad