Tensor de marea

En la teoría de la gravitación de Newton y en varias teorías clásicas relativistas de la gravitación , como la relatividad general , el tensor de marea representa

1. aceleraciones de marea de una nube de partículas de prueba (eléctricamente neutras, no giratorias) ,
2. tensiones de marea en un objeto pequeño inmerso en un campo gravitacional ambiental.

El tensor de marea representa la aceleración relativa debida a la gravedad de dos masas de prueba separadas por una distancia infinitesimal. El componente representa la aceleración relativa en la dirección producida por un desplazamiento en la dirección. ${\displaystyle \Phi _{{a}{b}}}$${\displaystyle {\hat {a}}}$${\displaystyle {\hat {b}}}$

El ejemplo más común de mareas es la fuerza de marea alrededor de un cuerpo esférico ( por ejemplo , un planeta o una luna). Aquí calculamos el tensor de marea para el campo gravitatorio fuera de un objeto masivo aislado y simétrico esféricamente. Según la ley de la gravedad de Newton, la aceleración a a una distancia r de una masa central m es

${\displaystyle a=-Gm/r^{2}}$

(Para simplificar las matemáticas, en las siguientes derivaciones utilizamos la convención de establecer la constante gravitacional G en uno. Para calcular las aceleraciones diferenciales, los resultados deben multiplicarse por G.)

Adoptemos el marco en coordenadas polares para nuestro espacio euclidiano tridimensional, y consideremos desplazamientos infinitesimales en las direcciones radial y azimutal, y , que reciben los subíndices 1, 2 y 3 respectivamente. ${\displaystyle \partial _{r},\partial _{\theta },}$${\displaystyle \partial _{\phi }}$

${\displaystyle {\vec {\epsilon }}_{1}=\partial _{r},\;{\vec {\epsilon }}_{2}={\frac {1}{r}}\,\partial _{\theta },\;{\vec {\epsilon }}_{3}={\frac {1}{r\sin \theta }}\,\partial _{\phi }}$

Calcularemos directamente cada componente del tensor de marea, expresado en este marco. Primero, comparemos las fuerzas gravitacionales sobre dos objetos cercanos que se encuentran en la misma línea radial a distancias del cuerpo central que difieren en una distancia h :

${\displaystyle m/(r+h)^{2}-m/r^{2}=-2mh/r^{3}+3mh^{2}/r^{4}+O(h^{3})}$

Como al analizar los tensores estamos tratando con álgebra multilineal , solo conservamos los términos de primer orden, por lo que . Como no hay aceleración en la dirección o debido a un desplazamiento en la dirección radial, los otros términos radiales son cero: . ${\displaystyle \Phi _{11}=-2m/r^{3}}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \Phi _{12}=\Phi _{13}=0}$

De manera similar, podemos comparar la fuerza gravitacional sobre dos observadores cercanos que se encuentran en el mismo radio pero desplazados una distancia (infinitesimal) h en la dirección or . Utilizando algo de trigonometría elemental y la aproximación de ángulos pequeños, encontramos que los vectores de fuerza difieren en un vector tangente a la esfera que tiene magnitud ${\displaystyle r=r_{0}}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle {\frac {m}{r_{0}^{2}}}\,\sin(\theta )\approx {\frac {m}{r_{0}^{2}}}\,{\frac {h}{r_{0}}}={\frac {m}{r_{0}^{3}}}\,h}$

Al utilizar la aproximación de ángulo pequeño, hemos ignorado todos los términos de orden , por lo que los componentes tangenciales son . Nuevamente, dado que no hay aceleración en la dirección radial debido a desplazamientos en ninguna de las direcciones azimutales, los otros términos azimutales son cero: . ${\displaystyle O(h^{2})}$${\displaystyle \Phi _{22}=\Phi _{33}=m/r^{3}}$${\displaystyle \Phi _{21}=\Phi _{31}=0}$

Combinando esta información, encontramos que el tensor de marea es diagonal con los componentes del marco. Esta es la forma de Coulomb característica de los campos de fuerza centrales esféricamente simétricos en la física newtoniana. ${\displaystyle \Phi _{{\hat {a}}{\hat {b}}}={\frac {m}{r^{3}}}\operatorname {diag} (-2,1,1)}$

En el caso más general donde la masa no es un único objeto central esféricamente simétrico, el tensor de marea se puede derivar del potencial gravitacional , que obedece a la ecuación de Poisson : ${\displaystyle U}$

${\displaystyle \Delta U=4\pi \,\mu }$

donde es la densidad de masa de cualquier materia presente y donde es el operador de Laplace . Nótese que esta ecuación implica que en una solución de vacío , el potencial es simplemente una función armónica . ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \Delta }$

El tensor de marea está dado por la parte sin traza ^[1]

${\displaystyle \Phi _{ab}=J_{ab}-{\frac {1}{3}}\,{J^{m}}_{m}\,\eta _{ab}}$

De la Hesse

${\displaystyle J_{ab}={\frac {\partial ^{2}U}{\partial x^{a}\,\partial x^{b}}}}$

donde utilizamos el gráfico cartesiano estándar para E ^{3 , con el} tensor métrico euclidiano

${\displaystyle ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2},\;-\infty <x,y,z<\infty }$

Usando resultados estándar en cálculo vectorial, esto se puede convertir fácilmente en expresiones válidas en otros gráficos de coordenadas, como el gráfico esférico polar.

${\displaystyle ds^{2}=d\rho ^{2}+\rho ^{2}\,\left(d\theta ^{2}+\sin(\theta )^{2}\,d\phi ^{2}\right)}$

${\displaystyle 0<\rho <\infty ,\;0<\theta <\pi ,\;-\pi <\phi <\pi }$

Como ejemplo, podemos calcular el tensor de marea para un cuerpo esférico utilizando el hessiano. A continuación, introduzcamos el potencial gravitatorio en el hessiano. Podemos convertir la expresión anterior en una válida en coordenadas esféricas polares, o podemos convertir el potencial en coordenadas cartesianas antes de introducirlo. Adoptando el segundo método, tenemos , que da ${\displaystyle U=-m/\rho }$${\displaystyle U=-m/{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}$

${\displaystyle \Phi _{ab}={\frac {m}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{5/2}}}\,\left[{\begin{matrix}y^{2}+z^{2}-2x^{2}&-3xy&-3xz\\-3xy&x^{2}+z^{2}-2y^{2}&-3yz\\-3xz&-3yz&x^{2}+y^{2}-2z^{2}\end{matrix}}\right]}$

Después de una rotación de nuestro marco, que está adaptado a las coordenadas esféricas polares, esta expresión concuerda con nuestro resultado anterior. La forma más fácil de ver esto es establecer en cero para que los términos fuera de la diagonal se anulen y , y luego invocar la simetría esférica. ${\displaystyle y,z}$${\displaystyle \rho =x}$

En relatividad general, el tensor de mareas se generaliza mediante el tensor de curvatura de Riemann . En el límite del campo débil, el tensor de mareas viene dado por los componentes del tensor de curvatura. ${\displaystyle \Phi _{ij}={R}_{i0j0}}$

• Fuerza de marea
• Tensor de tensión

• Sperhake, Ulrich. "Parte II General Relativity Lecture Notes" (PDF) : 19 . Consultado el 13 de enero de 2018 . {{cite journal}}: Requiere citar revista |journal=( ayuda )
• Renaud, F.; Boily, CM; Naab, T.; Theis, Ch. (20 de noviembre de 2009). "Mareas totalmente compresivas en fusiones de galaxias". The Astrophysical Journal . 706 (1): 68. arXiv : 0910.0196 . Bibcode :2009ApJ...706...67R. doi :10.1088/0004-637X/706/1/67. S2CID  15831572.
• Duc, Pierre-Alain; Renaud, Florent. "Potencial gravitacional y tensor de marea". ned.ipac.caltech.edu . Caltech . Consultado el 13 de enero de 2018 .