Modelo de diez rayos

Para el modelado matemático de la propagación de diez rayos, se tiene en cuenta una vista lateral y se comienza modelando los dos primeros rayos (línea de visión y su respectiva reflexión), considerando que las antenas tienen diferentes alturas, entonces${\displaystyle h_{Tx}\neq {h_{Rx}}}$y tienen una distancia directa d que separa las dos antenas; El primer rayo se forma aplicando el teorema de Pitágoras:

${\displaystyle R_{0}={\sqrt {d^{2}+(h_{t}-h_{r})^{2}}}}$

El segundo rayo o rayo reflejado se realiza de forma similar al primero, pero en este caso se suman las alturas de las antenas para formar el triángulo rectángulo para la reflexión de la altura del transmisor.

${\displaystyle R_{0}'={\sqrt {d^{2}+(h_{t}+h_{r})^{2}}}}$

En la deducción del tercer rayo es necesario hallar el ángulo entre la distancia directa${\displaystyle d}$y la distancia de la línea de visión${\displaystyle R_{0}}$_.

${\displaystyle \cos \theta ={\frac {d}{R_{0}}}}$

Al observar el modelo con una vista lateral, es necesario encontrar una distancia plana entre el transmisor y el receptor llamada ${\displaystyle d'}$.

${\displaystyle d'={\sqrt {d^{2}-(w_{r2}-w_{t2})^{2}}}}$

Ahora deducimos la altura restante de la pared a partir de la altura del receptor llamado ${\displaystyle z}$por la semejanza de triángulos:

${\displaystyle {\frac {z}{a}}={\frac {h_{t}}{d'}}}$

${\displaystyle z={\frac {{h_{t}}a}{d'}}}$

Por semejanza de triángulos podemos deducir la distancia desde donde colisiona el rayo con la pared hasta la perpendicular del receptor llamado${\displaystyle a}$, conseguir:

${\displaystyle {\frac {a}{d}}'={\frac {w_{r2}}{w_{t2}+w_{r2}}}}$

${\displaystyle a={\frac {d'w_{r2}}{w_{t2}+w_{r2}}}}$

El tercer rayo se define como un modelo de dos rayos, por el cual:

${\displaystyle R_{1}={\frac {{\sqrt {(h_{t}-h_{r}-z)^{2}+(d'-a)^{2}}}+{\sqrt {z^{2}+a^{2}}}}{\cos \theta }}}$

Tomando una vista lateral se logra evidenciar el rayo reflejado que hay en${\displaystyle R_{1}}$ y se encuentra de la siguiente manera:

${\displaystyle R_{1}'={\frac {{\sqrt {(h_{t}+h_{r}+z)^{2}+(d'-a)^{2}}}+{\sqrt {(2h_{r}+z)^{2}+a^{2}}}}{\cos \theta }}}$

Como existen dos rayos que chocan una vez en la pared, entonces se encuentra el quinto rayo, igualándolo al tercero.

${\displaystyle R_{2}=R_{1}}$

De manera similar, se iguala el sexto rayo con el cuarto rayo, ya que tienen las mismas características.

${\displaystyle R_{2}'=R_{1}'}$

Para modelar los rayos que chocan con la pared dos veces, se utiliza el teorema de Pitágoras debido a la distancia directa.${\displaystyle d}$y la suma de las distancias entre el receptor y cada pared, más el doble de la distancia del transmisor a la pared. ${\displaystyle w_{t2}}$, esto se divide en el ángulo formado entre la distancia directa y el rayo reflejado.

${\displaystyle R_{3}={\frac {\sqrt {d^{2}+(w_{r2}+2w_{t2}+w_{r1})^{2}}}{\cos \theta }}}$

Para el octavo rayo se calcula una serie de variables que permiten deducir la ecuación completa, la cual está compuesta por distancias y alturas que se encontraron por semejanza de triángulos .

En primer lugar, se toma la distancia plana entre la pared del segundo choque y el receptor:

${\displaystyle x={\frac {d'w_{r1}}{w_{r2}+w_{r1}}}}$

Se encuentra la distancia plana entre el transmisor y la pared en el primer choque.

${\ Displaystyle h_ {p2} = h_ {r} + z_ {2}}$

${\displaystyle y={\frac {d'w_{t2}}{w_{r2}+w_{r1}}}}$

Hallando la distancia entre la altura de la pared del segundo choque con respecto al primer choque, se obtiene:

${\displaystyle z_{1}={\frac {h_{t}(d'-(x+y))}{d'}}}$

Deduciendo también la distancia entre la altura de la pared del segundo choque con respecto al receptor:

${\displaystyle z_{2}={\frac {h_{t}x}{d'}}}$

Calculando la altura del muro donde se produce el primer impacto:

${\displaystyle h_{p1}=h_{r}+z_{1}+z_{2}}$

Calcular la altura del muro donde se produce el segundo impacto:

${\displaystyle h_{p2}=h_{r}+z_{2}}$

Con estos parámetros se calcula la ecuación para el octavo rayo:

${\displaystyle R_{3}'={\frac {{\sqrt {y^{2}+(h_{t}+h_{p1})^{2}}}+{\sqrt {(d'-(x+y))^{2}+(h_{p1}+h_{p2}^{2}}}+{\sqrt {x^{2}+(h_{r}+h_{p2})^{2}}}}{\cos \theta }}}$

Para el noveno rayo, la ecuación es la misma que para el séptimo rayo debido a sus características:

${\displaystyle R_{4}=R_{3}}$

Para el décimo rayo, la ecuación es la misma que para el octavo rayo debido a la forma de su rayo reflejado:

${\displaystyle R_{4}'=R_{3}'}$

Se considera una señal transmitida a través del espacio libre a un receptor ubicado a una distancia d del transmisor.

Suponiendo que no existan obstáculos entre el transmisor y el receptor, la señal se propaga en línea recta entre ambos. El modelo de haz asociado a esta transmisión se denomina línea de visión (LOS), y la señal recibida correspondiente se llama señal LOS o haz. ^{[ 2 ]}

Las pérdidas de trayectoria del modelo de diez rayos en el espacio libre se definen como:

${\displaystyle p_{0}(t)={\sqrt {(G_{i}G_{R})}}{\frac {\lambda }{4\pi }}\left({\frac {\exp(j2\pi R_{0}/{\lambda })}{R_{0}}}+\Gamma {\frac {\exp(j2\pi R_{0}'/{\lambda })}{R_{0}'}}\right)}$

${\displaystyle p_{1}(t)={\sqrt {(G_{i}G_{R})}}{\frac {\lambda }{4\pi }}~\Gamma _{1}\left({\frac {\exp(j2\pi R_{1}/\lambda )}{R_{1}}}+\Gamma {\frac {\exp(j2\pi R_{1}'/\lambda )}{R_{1}'}}\right)}$

${\displaystyle p_{2}(t)={\sqrt {(G_{i}G_{R})}}{\frac {\lambda }{4\pi }}~\Gamma _{1}\left({\frac {\exp(j2\pi R_{2}/\lambda )}{R_{2}}}+\Gamma {\frac {\exp(j2\pi R_{2}'/\lambda )}{R_{2}'}}\right)}$

${\displaystyle p_{3}(t)={\sqrt {(G_{i}G_{R})}}{\frac {\lambda }{4\pi }}~\Gamma _{1}\left({\frac {\exp(j2\pi R_{3}/\lambda )}{R_{3}}}+\Gamma {\frac {\exp(j2\pi R_{3}'/\lambda )}{R_{3}'}}\right)}$

${\displaystyle p_{4}(t)={\sqrt {(G_{i}G_{R})}}{\frac {\lambda }{4\pi }}~\Gamma _{1}\left({\frac {\exp(j2\pi R_{4}/\lambda )}{R_{4}}}+\Gamma {\frac {\exp(j2\pi R_{4}'/\lambda )}{R_{4}'}}\right)}$

${\displaystyle P_{L}~(dB)=20\log \left|\sum _{i=0}^{N}P_{i}\right|}$