flujo de Taylor-Couette

En dinámica de fluidos , el flujo de Taylor-Couette consiste en un fluido viscoso confinado en el espacio entre dos cilindros giratorios. Para bajas velocidades angulares, medidas por el número de Reynolds Re , el flujo es estacionario y puramente azimutal . Este estado básico se conoce como flujo de Couette circular , en honor a Maurice Marie Alfred Couette , quien utilizó este dispositivo experimental para medir la viscosidad . Sir Geoffrey Ingram Taylor investigó la estabilidad del flujo de Couette en un artículo pionero. ^{[ 1 ]} El artículo de Taylor se convirtió en una piedra angular en el desarrollo de la teoría de la estabilidad hidrodinámica y demostró que la condición de no deslizamiento , que era objeto de controversia en la comunidad científica en ese momento, era la condición de contorno correcta para flujos viscosos en un límite sólido.

Taylor demostró que cuando la velocidad angular del cilindro interior aumenta por encima de cierto umbral, el flujo de Couette se vuelve inestable y emerge un estado estacionario secundario caracterizado por vórtices toroidales axisimétricos, conocido como flujo de vórtice de Taylor . Posteriormente, al aumentar la velocidad angular del cilindro, el sistema experimenta una progresión de inestabilidades que conducen a estados con mayor complejidad espacio-temporal, siendo el siguiente estado denominado flujo de vórtice ondulado . Si los dos cilindros giran en sentido opuesto, surge un flujo de vórtice espiral . Más allá de cierto número de Reynolds, se produce el inicio de la turbulencia .

El flujo de Couette circular tiene amplias aplicaciones, desde la desalinización hasta la magnetohidrodinámica , así como en el análisis viscosimétrico. A lo largo de los años se han clasificado diferentes regímenes de flujo, incluyendo vórtices de Taylor retorcidos y límites de salida ondulados. Es un flujo ampliamente investigado y documentado en dinámica de fluidos. ^{[ 2 ]}

Un flujo de Taylor-Couette simple es un flujo estacionario creado entre dos cilindros coaxiales giratorios infinitamente largos. ^{[ 3 ]} Dado que las longitudes de los cilindros son infinitamente largas, el flujo es esencialmente unidireccional en estado estacionario. Si el cilindro interior con radio${\displaystyle R_{1}}$está girando a velocidad angular constante${\displaystyle \Omega _{1}}$y el cilindro exterior con radio${\displaystyle R_{2}}$está girando a velocidad angular constante${\displaystyle \Omega _{2}}$como se muestra en la figura, entonces el componente de velocidad azimutal viene dado por ^{[ 4 ]}

${\displaystyle v_{\theta }=Ar+{\frac {B}{r}},\quad A=\Omega _{1}{\frac {\mu -\eta ^{2}}{1-\eta ^{2}}},\quad B=\Omega _{1}R_{1}^{2}{\frac {1-\mu }{1-\eta ^{2}}}}$

dónde

${\displaystyle \mu ={\frac {\Omega _{2}}{\Omega _{1}}},\quad \eta ={\frac {R_{1}}{R_{2}}}.}$

Lord Rayleigh ^{[ 5 ] [ 6 ]} estudió la estabilidad del problema con la suposición de viscosidad nula, es decir, perturbando las ecuaciones de Euler . El criterio establece que, en ausencia de viscosidad, la condición necesaria y suficiente para la distribución de la velocidad azimutal es${\ Displaystyle v _ {\ theta} (r)}$ser estable es ^{[ 7 ]}

${\displaystyle \Phi \equiv {\frac {1}{r^{3}}}{\frac {d}{dr}}(rv_{\theta })^{2}\geq 0}$

en todo el intervalo; y, además, que la distribución es inestable si${\displaystyle (rv_{\theta })^{2}}$debería disminuir en cualquier punto del intervalo. Dado que${\displaystyle |rv_{\theta }|}$representa el momento angular por unidad de masa de un elemento fluido alrededor del eje de rotación, una forma alternativa de enunciar el criterio es: una estratificación del momento angular alrededor de un eje es estable si y solo si aumenta monótonamente hacia afuera.

Aplicar este criterio al flujo de Taylor-Couette indica que el flujo es estable si${\displaystyle \mu >\eta ^{2}}$, es decir, para la estabilidad, el cilindro exterior debe girar (en el mismo sentido) con una velocidad angular mayor que${\displaystyle \eta ^{2}}$-veces que el del cilindro interior. Se viola el criterio de Rayleigh (${\displaystyle \Phi <0}$) a lo largo de todo el fluido cuando${\displaystyle 0<\mu <\eta ^{2}}$. Por otro lado, cuando los cilindros giran en direcciones opuestas, es decir, cuando${\displaystyle \mu <0}$, el criterio de Rayleigh se viola solo en la región interior, es decir,${\displaystyle \Phi (r)<0}$para${\displaystyle \eta <r/R_{2}<\eta _{0}}$dónde${\displaystyle \eta _{0}=\eta [(1+|\mu |)/(\eta ^{2}+|\mu |)]^{1/2}}$.

En un trabajo fundamental, GI Taylor encontró el criterio de inestabilidad en presencia de fuerzas viscosas tanto experimental como teóricamente. En general, se observa que las fuerzas viscosas retrasan el inicio de la inestabilidad, predicha por el criterio de Rayleigh. La estabilidad se caracteriza por tres parámetros, a saber:${\displaystyle \eta }$,${\displaystyle \mu }$y un número de Taylor

${\displaystyle \mathrm {Ta} ={\frac {4\Omega _{1}^{2}R_{1}^{4}}{\nu ^{2}}}{\frac {(1-\mu )(1-\mu /\eta ^{2})}{(1-\eta ^{2})^{2}}}.}$

El primer resultado se refiere al hecho de que el flujo es estable para${\displaystyle \mu >\eta ^{2}}$, de acuerdo con el criterio de Rayleigh. Sin embargo, también existen casos estables en cierto rango paramétrico para${\displaystyle \mu <\eta ^{2}}$.

Taylor obtuvo un criterio explícito para la brecha estrecha en la que la brecha anular${\displaystyle R_{2}-R_{1}}$es pequeño en comparación con el radio medio${\displaystyle (R_{1}+R_{2})/2}$, o en otras palabras,${\displaystyle 1-\eta \ll (1+\eta )/2\approx 1}$Una mejor definición del número de Taylor en la aproximación de brecha delgada es

${\displaystyle \mathrm {Ta} =-{\frac {2A\Omega _{1}R_{2}^{4}}{\nu ^{2}}}(1-\eta )^{4}(1+\mu ).}$

En términos de este número de Taylor, se encontró que la condición crítica para la rotación en el mismo sentido era:

${\displaystyle \mathrm {Ta} _{c}=1708,\quad 0\leq \mu \leq 1.}$

Como${\displaystyle \mu \rightarrow 1}$, el número crítico de Taylor viene dado por

${\displaystyle \mathrm {Ta} _{c}=1707.76\left[1-0.00761\left({\frac {1-\mu }{1+\mu }}\right)^{2}\right].}$

Los vórtices de Taylor (también llamados así en honor a Sir Geoffrey Ingram Taylor ) son vórtices que se forman en el flujo rotacional de Taylor-Couette cuando el número de Taylor (${\displaystyle \mathrm {Ta} }$) del flujo supera un valor crítico${\displaystyle \mathrm {Ta_{c}} }$.

Para el flujo en el que

${\displaystyle \mathrm {Ta} <\mathrm {Ta_{c}} ,}$

No hay inestabilidades en el flujo, es decir, las perturbaciones del flujo son amortiguadas por las fuerzas viscosas y el flujo es estacionario. Pero, como${\displaystyle \mathrm {Ta} }$supera${\displaystyle \mathrm {Ta_{c}} }$Aparecen inestabilidades axisimétricas. La naturaleza de estas inestabilidades es la de un intercambio de estabilidades (en lugar de una sobreestabilidad), y el resultado no es turbulencia, sino un patrón de flujo secundario estable que emerge en el que se forman grandes vórtices toroidales en el flujo, apilados uno encima del otro. Estos son los vórtices de Taylor. Mientras que la mecánica de fluidos del flujo original es inestable cuando${\displaystyle \mathrm {Ta} >\mathrm {Ta_{c}} }$El nuevo flujo, denominado flujo de Taylor-Couette , con la presencia de vórtices de Taylor, es en realidad estacionario hasta que alcanza un número de Reynolds elevado , momento en el que pasa a un flujo inestable de "vórtices ondulados", lo que presumiblemente indica la presencia de inestabilidades no axisimétricas.

El problema matemático idealizado se plantea eligiendo un valor particular de${\displaystyle \mu }$,${\displaystyle \eta }$, y${\displaystyle \mathrm {Ta} }$. Como${\displaystyle \eta \rightarrow 1}$y${\displaystyle \mu \rightarrow 0}$Desde abajo, el número crítico de Taylor es${\displaystyle \mathrm {Ta_{c}} \simeq 1708}$^{[ 4 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]} ⁠⁠

En 1975, JP Gollub y HL Swinney publicaron un artículo sobre el inicio de la turbulencia en fluidos en rotación. En un sistema de flujo de Taylor-Couette, observaron que, a medida que aumenta la velocidad de rotación, el fluido se estratifica en una pila de "donas fluidas". Con mayores aumentos en la velocidad de rotación, las donas oscilan y se retuercen y finalmente se vuelven turbulentas. ^{[ 12 ]} Su estudio ayudó a establecer el escenario de Ruelle-Takens en la turbulencia, ^{[ 13 ]} que es una contribución importante de Floris Takens y David Ruelle para comprender cómo los sistemas hidrodinámicos transitan de patrones de flujo estables a turbulentos. Si bien el factor principal que rige esta transición es el número de Reynolds , hay otros factores influyentes importantes: si el flujo es abierto (es decir, hay un flujo lateral aguas arriba y aguas abajo) o cerrado (el flujo está limitado lateralmente; por ejemplo, en rotación), y limitado (influenciado por efectos de pared) o no limitado (no influenciado por efectos de pared). Según esta clasificación, el flujo de Taylor-Couette es un ejemplo de un patrón de flujo que se forma en un sistema de flujo cerrado y delimitado.

• Chossat, P.; Iooss, G. (1992). El problema de Couette-Taylor . Ciencias Matemáticas Aplicadas. Vol.  102. Springer. doi : 10.1007/978-1-4612-4300-7 . ISBN 978-0387941547.
• Koschmieder, EL (1993). Celdas de Bénard y vórtices de Taylor . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-40204-0.