Capacidad del canal

En ingeniería eléctrica , informática y teoría de la información , la capacidad del canal es la velocidad máxima teórica a la que se puede transmitir información de forma fiable a través de un canal de comunicación .

Según los términos del teorema de codificación de canal ruidoso , la capacidad de canal de un canal dado es la tasa de información más alta (en unidades de información por unidad de tiempo) que se puede lograr con una probabilidad de error arbitrariamente pequeña. ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}

La teoría de la información , desarrollada por Claude E. Shannon en 1948, define la noción de capacidad del canal y proporciona un modelo matemático para su cálculo. El resultado clave establece que la capacidad del canal, tal como se definió anteriormente, viene dada por el máximo de la información mutua entre la entrada y la salida del canal, donde la maximización se realiza con respecto a la distribución de entrada. ^{[ 3 ]}

La noción de capacidad del canal ha sido fundamental para el desarrollo de los sistemas modernos de comunicación por cable e inalámbricos, con la aparición de nuevos mecanismos de codificación de corrección de errores que han dado como resultado un rendimiento muy cercano a los límites prometidos por la capacidad del canal.

Definición formal

El modelo matemático básico para un sistema de comunicación es el siguiente:

{\xrightarrow[{\text{Mensaje}}]{W}}{\begin{array}{|c|}\hline {\text{Codificador}}\\f_{n}\\\hline \end{array}}{\xrightarrow[{\mathrm {Secuencia \atop codificada} }]{X^{n}}}{\begin{array}{|c|}\hline {\text{Canal}}\\p(y|x)\\\hline \end{array}}{\xrightarrow[{\mathrm {Secuencia \atop recibida} }]{Y^{n}}}{\begin{array}{|c|}\hline {\text{Decodificador}}\\g_{n}\\\hline \end{array}}{\xrightarrow[{\mathrm {Mensaje \atop estimado} }]{\hat {W}}}

dónde:

$W$ es el mensaje que se va a transmitir;
$X$ es el símbolo de entrada del canal ( $X^{n}$ es una secuencia de $n$ símbolos) tomados en un alfabeto ${\mathcal {X}}$ ;
$Y$ es el símbolo de salida del canal ( $Y^{n}$ es una secuencia de $n$ símbolos) tomados en un alfabeto ${\mathcal {Y}}$ ;
${\hat {W}}$ es la estimación del mensaje transmitido;
$f_{n}$ es la función de codificación para un bloque de longitud $n$ ;
$p(y|x)=p_{Y|X}(y|x)$ es el canal ruidoso, que se modela mediante una distribución de probabilidad condicional ; y,
$g_{n}$ es la función de decodificación para un bloque de longitud $n$ .

Dejar $X$ y $Y$ ser modelados como variables aleatorias. Además, $p_{Y|X}(y|x)$ sea la función de distribución de probabilidad condicional de $Y$ dado $X$ , que es una propiedad fija inherente del canal de comunicación. Entonces, la elección de la distribución marginal $p_{X}(x)$ determina completamente la distribución conjunta $p_{X,Y}(x,y)$ debido a la identidad

\ p_{X,Y}(x,y)=p_{Y|X}(y|x)\,p_{X}(x)

lo cual, a su vez, induce una información mutua $I(X;Y)$ . La capacidad del canal se define como

\ C=\sup _{p_{X}(x)}I(X;Y)\,

donde el supremo se toma sobre todas las posibles opciones de $p_{X}(x)$ .

Aditividad de la capacidad del canal

La capacidad del canal es aditiva sobre canales independientes. ^{[ 4 ]} Esto significa que usar dos canales independientes de forma combinada proporciona la misma capacidad teórica que usarlos de forma independiente. Más formalmente, sea $p_{1}$ y $p_{2}$ sean dos canales independientes modelados como se indicó anteriormente; $p_{1}$ tener un alfabeto de entrada ${\mathcal {X}}_{1}$ y un alfabeto de salida ${\mathcal {Y}}_{1}$ . Ídem para $p_{2}$ Definimos el canal de producto $p_{1}\times p_{2}$ como $\forall (x_{1},x_{2})\in ({\mathcal {X}}_{1},{\mathcal {X}}_{2}),\;(y_{1},y_{2})\in ({\mathcal {Y}}_{1},{\mathcal {Y}}_{2}),\;(p_{1}\times p_{2})((y_{1},y_{2})|(x_{1},x_{2}))=p_{1}(y_{1}|x_{1})p_{2}(y_{2}|x_{2})$

Este teorema establece: $C(p_{1}\times p_{2})=C(p_{1})+C(p_{2})$

Prueba

Primero demostramos que $C(p_{1}\times p_{2})\geq C(p_{1})+C(p_{2})$ .

Dejar $X_{1}$ y $X_{2}$ Sean dos variables aleatorias independientes. $Y_{1}$ sea una variable aleatoria correspondiente a la salida de $X_{1}$ a través del canal $p_{1}$ , y $Y_{2}$ para $X_{2}$ a través de $p_{2}$ .

Por definición $C(p_{1}\times p_{2})=\sup _{p_{X_{1},X_{2}}}(I(X_{1},X_{2}:Y_{1},Y_{2}))$ .

Desde $X_{1}$ y $X_{2}$ son independientes, así como $p_{1}$ y $p_{2}$ , $(X_{1},Y_{1})$ es independiente de $(X_{2},Y_{2})$ Podemos aplicar la siguiente propiedad de la información mutua : $I(X_{1},X_{2}:Y_{1},Y_{2})=I(X_{1}:Y_{1})+I(X_{2}:Y_{2})$

Por ahora solo necesitamos encontrar una distribución $p_{X_{1},X_{2}}$ de tal manera que $I(X_{1},X_{2}:Y_{1},Y_{2})\geq I(X_{1}:Y_{1})+I(X_{2}:Y_{2})$ . De hecho, $\pi _{1}$ y $\pi _{2}$ , dos distribuciones de probabilidad para $X_{1}$ y $X_{2}$ lograr $C(p_{1})$ y $C(p_{2})$ , basta:

C(p_{1}\times p_{2})\geq I(X_{1},X_{2}:Y_{1},Y_{2})=I(X_{1}:Y_{1})+I(X_{2}:Y_{2})=C(p_{1})+C(p_{2})

es decir. $C(p_{1}\times p_{2})\geq C(p_{1})+C(p_{2})$

Ahora vamos a demostrar que $C(p_{1}\times p_{2})\leq C(p_{1})+C(p_{2})$ .

Dejar $\pi _{12}$ ser alguna distribución para el canal $p_{1}\times p_{2}$ definición $(X_{1},X_{2})$ y la salida correspondiente $(Y_{1},Y_{2})$ . Dejar ${\mathcal {X}}_{1}$ ser el alfabeto de $X_{1}$ , ${\mathcal {Y}}_{1}$ para $Y_{1}$ y análogamente ${\mathcal {X}}_{2}$ y ${\mathcal {Y}}_{2}$ .

Por definición de información mutua, tenemos

${\begin{aligned}I(X_{1},X_{2}:Y_{1},Y_{2})&=H(Y_{1},Y_{2})-H(Y_{1},Y_{2}|X_{1},X_{2})\\&\leq H(Y_{1})+H(Y_{2})-H(Y_{1},Y_{2}|X_{1},X_{2})\end{aligned}}$

Reescribamos el último término de entropía .

$H(Y_{1},Y_{2}|X_{1},X_{2})=\sum _{(x_{1},x_{2})\in {\mathcal {X}}_{1}\times {\mathcal {X}}_{2}}\mathbb {P} (X_{1},X_{2}=x_{1},x_{2})H(Y_{1},Y_{2}|X_{1},X_{2}=x_{1},x_{2})$

Por definición del canal de producto, $\mathbb {P} (Y_{1},Y_{2}=y_{1},y_{2}|X_{1},X_{2}=x_{1},x_{2})=\mathbb {P} (Y_{1}=y_{1}|X_{1}=x_{1})\mathbb {P} (Y_{2}=y_{2}|X_{2}=x_{2})$ . Para un par dado $(x_{1},x_{2})$ , podemos reescribir $H(Y_{1},Y_{2}|X_{1},X_{2}=x_{1},x_{2})$ como:

${\begin{aligned}H(Y_{1},Y_{2}|X_{1},X_{2}=x_{1},x_{2})&=\sum _{(y_{1},y_{2})\in {\mathcal {Y}}_{1}\times {\mathcal {Y}}_{2}}\mathbb {P} (Y_{1},Y_{2}=y_{1},y_{2}|X_{1},X_{2}=x_{1},x_{2})\log(\mathbb {P} (Y_{1},Y_{2}=y_{1},y_{2}|X_{1},X_{2}=x_{1},x_{2}))\\&=\sum _{(y_{1},y_{2})\in {\mathcal {Y}}_{1}\times {\mathcal {Y}}_{2}}\mathbb {P} (Y_{1},Y_{2}=y_{1},y_{2}|X_{1},X_{2}=x_{1},x_{2})[\log(\mathbb {P} (Y_{1}=y_{1}|X_{1}=x_{1}))+\log(\mathbb {P} (Y_{2}=y_{2}|X_{2}=x_{2}))]\\&=H(Y_{1}|X_{1}=x_{1})+H(Y_{2}|X_{2}=x_{2})\end{aligned}}$

Al sumar esta igualdad sobre todos $(x_{1},x_{2})$ , obtenemos $H(Y_{1},Y_{2}|X_{1},X_{2})=H(Y_{1}|X_{1})+H(Y_{2}|X_{2})$ .

Ahora podemos establecer un límite superior para la información mutua:

${\begin{aligned}I(X_{1},X_{2}:Y_{1},Y_{2})&\leq H(Y_{1})+H(Y_{2})-H(Y_{1}|X_{1})-H(Y_{2}|X_{2})\\&=I(X_{1}:Y_{1})+I(X_{2}:Y_{2})\end{aligned}}$

Esta relación se conserva en el supremo. Por lo tanto

C(p_{1}\times p_{2})\leq C(p_{1})+C(p_{2})

Combinando las dos desigualdades que hemos demostrado, obtenemos el resultado del teorema:

C(p_{1}\times p_{2})=C(p_{1})+C(p_{2})

Capacidad de Shannon de un gráfico

Si G es un grafo no dirigido , se puede usar para definir un canal de comunicación en el que los símbolos son los vértices del grafo, y dos palabras clave pueden confundirse si sus símbolos en cada posición son iguales o adyacentes. La complejidad computacional para encontrar la capacidad de Shannon de dicho canal sigue siendo un problema abierto, pero puede acotarse superiormente mediante otro invariante importante del grafo, el número de Lovász . ^{[ 5 ]}

Teorema de codificación de canal ruidoso

El teorema de codificación de canal ruidoso establece que, para cualquier probabilidad de error ε > 0 y para cualquier tasa de transmisión R menor que la capacidad del canal C , existe un esquema de codificación y decodificación que transmite datos a una tasa R cuya probabilidad de error es menor que ε, para una longitud de bloque suficientemente grande. Además, para cualquier tasa mayor que la capacidad del canal, la probabilidad de error en el receptor tiende a 0,5 a medida que la longitud del bloque tiende a infinito.

Ejemplo de aplicación

Una aplicación del concepto de capacidad de canal a un canal de ruido gaussiano blanco aditivo (AWGN) con un ancho de banda de B Hz y una relación señal/ruido S/N es el teorema de Shannon-Hartley :

C=B\log _{2}\left(1+{\frac {S}{N}}\right)\

C se mide en bits por segundo si el logaritmo se toma en base 2, o en nats por segundo si se utiliza el logaritmo natural , suponiendo que B está en hercios ; las potencias de señal y ruido S y N se expresan en una unidad de potencia lineal (como vatios o voltios² ⁾ . Dado que las cifras S/N a menudo se citan en dB , puede ser necesaria una conversión. Por ejemplo, una relación señal/ruido de 30 dB corresponde a una relación de potencia lineal de $10^{30/10}=10^{3}=1000$ .

Estimación de la capacidad del canal

Para determinar la capacidad del canal, es necesario encontrar la distribución que alcanza dicha capacidad. $p_{X}(x)$ y evaluar la información mutua $I(X;Y)$ La investigación se ha centrado principalmente en el estudio de canales de ruido aditivo bajo ciertas restricciones de potencia y distribuciones de ruido, ya que los métodos analíticos no son viables en la mayoría de los demás escenarios. Por lo tanto, en la literatura se han propuesto enfoques alternativos como la investigación del soporte de entrada, ^{[ 6 ]} las relajaciones ^{[ 7 ]} y los límites de capacidad, ^{[ 8 ]} .

La capacidad de un canal discreto sin memoria se puede calcular utilizando el algoritmo de Blahut-Arimoto .

El aprendizaje profundo se puede utilizar para estimar la capacidad del canal. De hecho, la capacidad del canal y la distribución de logro de capacidad de cualquier canal vectorial continuo sin memoria de tiempo discreto se pueden obtener utilizando CORTICAL, ^{[ 9 ]} un marco cooperativo inspirado en redes generativas antagónicas . CORTICAL consta de dos redes cooperativas: un generador con el objetivo de aprender a muestrear de la distribución de entrada de logro de capacidad, y un discriminador con el objetivo de aprender a distinguir entre muestras y estimaciones de entrada-salida del canal emparejadas y no emparejadas. $I(X;Y)$ .

Capacidad del canal en comunicaciones inalámbricas

Esta sección ^{[ 10 ]} se centra en el escenario de antena única punto a punto. Para la capacidad del canal en sistemas con múltiples antenas, consulte el artículo sobre MIMO .

Canal AWGN con ancho de banda limitado

{\displaystyle {\frac {\bar {P}}{N_{0}}}=1} — Capacidad del canal AWGN con el régimen de potencia limitada y el régimen de ancho de banda limitado indicados. Aquí, ${\frac {\bar {P}}{N_{0}}}=1$ ; B y C pueden escalarse proporcionalmente para otros valores.

Si la potencia media recibida es ${\bar {P}}$ [W], el ancho de banda total es $W$ en Hertz, y la densidad espectral de potencia del ruido es $N_{0}$ [W/Hz], la capacidad del canal AWGN es

C_{\text{AWGN}}=W\log _{2}\left(1+{\frac {\bar {P}}{N_{0}W}}\right)

[bits/s],

dónde ${\frac {\bar {P}}{N_{0}W}}$ es la relación señal-ruido (SNR) recibida. Este resultado se conoce como el teorema de Shannon-Hartley . ^{[ 11 ]}

Cuando la relación señal/ruido es grande (SNR ≫ 0 dB), la capacidad $C\approx W\log _{2}{\frac {\bar {P}}{N_{0}W}}$ tiene una potencia logarítmica y un ancho de banda aproximadamente lineal. Esto se denomina régimen limitado por el ancho de banda .

Cuando la relación señal/ruido es pequeña (SNR ≪ 0 dB), la capacidad $C\approx {\frac {\bar {P}}{N_{0}\ln 2}}$ es lineal en potencia pero insensible al ancho de banda. Esto se denomina régimen de potencia limitada .

En la figura se ilustran los regímenes de ancho de banda limitado y de potencia limitada.

Canal AWGN selectivo en frecuencia

La capacidad del canal selectivo en frecuencia viene dada por la denominada asignación de potencia de llenado de agua ,

C_{N_{c}}=\sum _{n=0}^{N_{c}-1}\log _{2}\left(1+{\frac {P_{n}^{*}|{\bar {h}}_{n}|^{2}}{N_{0}}}\right),

dónde $P_{n}^{*}=\max \left\{\left({\frac {1}{\lambda }}-{\frac {N_{0}}{|{\bar {h}}_{n}|^{2}}}\right),0\right\}$ y $|{\bar {h}}_{n}|^{2}$ es la ganancia del subcanal $n$ , con $\lambda$ elegido para cumplir con la restricción de potencia.

Canal de desvanecimiento lento

En un canal de desvanecimiento lento , donde el tiempo de coherencia es mayor que el requisito de latencia, no existe una capacidad definida como la tasa máxima de comunicaciones confiables admitidas por el canal, $\log _{2}(1+|h|^{2}SNR)$ depende de la ganancia del canal aleatorio $|h|^{2}$ , que es desconocido para el transmisor. Si el transmisor codifica datos a una velocidad $R$ [bits/s/Hz], existe una probabilidad distinta de cero de que la probabilidad de error de decodificación no pueda hacerse arbitrariamente pequeña,

p_{out}=\mathbb {P} (\log(1+|h|^{2}SNR)<R)

,

en cuyo caso se dice que el sistema está fuera de servicio. Con una probabilidad no nula de que el canal esté en desvanecimiento profundo, la capacidad del canal de desvanecimiento lento en sentido estricto es cero. Sin embargo, es posible determinar el valor más grande de $R$ de tal manera que la probabilidad de interrupción $p_{out}$ es menor que $\epsilon$ Este valor se conoce como el $\epsilon$ -capacidad de interrupción.

Canal que se desvanece rápidamente

En un canal de desvanecimiento rápido , donde el requisito de latencia es mayor que el tiempo de coherencia y la longitud de la palabra clave abarca muchos períodos de coherencia, se puede promediar sobre muchos desvanecimientos de canal independientes codificando sobre un gran número de intervalos de tiempo de coherencia. Por lo tanto, es posible lograr una tasa de comunicación confiable de $\mathbb {E} (\log _{2}(1+|h|^{2}SNR))$ [bits/s/Hz] y es significativo hablar de este valor como la capacidad del canal de desvanecimiento rápido.

Capacidad de retroalimentación

La capacidad de retroalimentación es la máxima velocidad a la que se puede transmitir información de forma fiable, por unidad de tiempo, a través de un canal de comunicación punto a punto en el que el receptor retroalimenta las salidas del canal al transmisor. El análisis desde la perspectiva de la teoría de la información de los sistemas de comunicación que incorporan retroalimentación es más complejo y exigente que el de aquellos que no la incorporan. Posiblemente, esta fue la razón por la que C. E. Shannon eligió la retroalimentación como tema de la primera Conferencia Shannon, impartida en el Simposio Internacional de Teoría de la Información del IEEE de 1973 en Ashkelon, Israel.

La capacidad de retroalimentación se caracteriza por el máximo de la información dirigida entre las entradas y salidas del canal, donde la maximización se realiza con respecto al condicionamiento causal de la entrada dada la salida. El término información dirigida fue acuñado por James Massey ^{[ 12 ]} en 1990, quien demostró que es una cota superior de la capacidad de retroalimentación. Para canales sin memoria , Shannon demostró ^{[ 13 ]} que la retroalimentación no aumenta la capacidad, y la capacidad de retroalimentación coincide con la capacidad del canal caracterizada por la información mutua entre la entrada y la salida. La capacidad de retroalimentación se conoce como una expresión de forma cerrada solo para algunos ejemplos, como el canal de trampilla, ^{[ 14 ]} el canal de Ising, ^{[ 15 ]}^{[ 16 ]} Para algunos otros canales, se caracteriza a través de problemas de optimización de tamaño constante, como el canal de borrado binario con una restricción de entrada de unos consecutivos, ^{[ 17 ]} el canal NOST. ^{[ 18 ]}

El modelo matemático básico para un sistema de comunicación es el siguiente:

Aquí está la definición formal de cada elemento (donde la única diferencia con respecto a la capacidad sin retroalimentación es la definición del codificador):

$W$ es el mensaje a transmitir, tomado en un alfabeto ${\mathcal {W}}$ ;
$X$ es el símbolo de entrada del canal ( $X^{n}$ es una secuencia de $n$ símbolos) tomados en un alfabeto ${\mathcal {X}}$ ;
$Y$ es el símbolo de salida del canal ( $Y^{n}$ es una secuencia de $n$ símbolos) tomados en un alfabeto ${\mathcal {Y}}$ ;
${\hat {W}}$ es la estimación del mensaje transmitido;
$f_{i}:{\mathcal {W}}\times {\mathcal {Y}}^{i-1}\to {\mathcal {X}}$ es la función de codificación en el tiempo $i$ , para un bloque de longitud $n$ ;
$p(y_{i}|x^{i},y^{i-1})=p_{Y_{i}|X^{i},Y^{i-1}}(y_{i}|x^{i},y^{i-1})$ es el canal ruidoso en ese momento $i$ , que se modela mediante una distribución de probabilidad condicional ; y,
${\hat {w}}:{\mathcal {Y}}^{n}\to {\mathcal {W}}$ es la función de decodificación para un bloque de longitud $n$ .

Es decir, por cada tiempo $i$ Existe una retroalimentación de la salida anterior. $Y_{i-1}$ de tal manera que el codificador tenga acceso a todas las salidas anteriores. $Y^{i-1}$ . Un $(2^{nR},n)$ El código es un par de asignaciones de codificación y decodificación con ${\mathcal {W}}=[1,2,\dots ,2^{nR}]$ , y $W$ está distribuida uniformemente. Una tasa $R$ Se dice que es posible lograrlo si existe una secuencia de códigos. $(2^{nR},n)$ de tal manera que la probabilidad media de error: $P_{e}^{(n)}\triangleq \Pr({\hat {W}}\neq W)$ tiende a cero como $n\to \infty$ .

La capacidad de retroalimentación se denota por $C_{\text{feedback}}$ y se define como el supremo sobre todas las tasas alcanzables.

Principales resultados sobre la capacidad de retroalimentación

Dejar $X$ y $Y$ ser modelados como variables aleatorias. El condicionamiento causal $P(y^{n}||x^{n})\triangleq \prod _{i=1}^{n}P(y_{i}|y^{i-1},x^{i})$ describe el canal dado. La elección de la distribución causalmente condicional $P(x^{n}||y^{n-1})\triangleq \prod _{i=1}^{n}P(x_{i}|x^{i-1},y^{i-1})$ determina la distribución conjunta $p_{X^{n},Y^{n}}(x^{n},y^{n})$ debido a la regla de la cadena para el condicionamiento causal ^{[ 19 ]} $P(y^{n},x^{n})=P(y^{n}||x^{n})P(x^{n}||y^{n-1})$ lo cual, a su vez, induce una información dirigida $I(X^{N}\rightarrow Y^{N})=\mathbf {E} \left[\log {\frac {P(Y^{N}||X^{N})}{P(Y^{N})}}\right]$ .

La capacidad de retroalimentación viene dada por

\ C_{\text{feedback}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sup _{P_{X^{n}||Y^{n-1}}}I(X^{n}\to Y^{n})\,

,

donde el supremo se toma sobre todas las posibles opciones de $P_{X^{n}||Y^{n-1}}(x^{n}||y^{n-1})$ .

capacidad de retroalimentación gaussiana

Cuando el ruido gaussiano está coloreado, el canal tiene memoria. Consideremos, por ejemplo, el caso simple de un proceso de ruido de modelo autorregresivo. $z_{i}=z_{i-1}+w_{i}$ dónde $w_{i}\sim N(0,1)$ es un proceso i.i.d.

Técnicas de solución

La capacidad de retroalimentación es difícil de resolver en el caso general. Existen algunas técnicas relacionadas con la teoría de control y los procesos de decisión de Markov cuando el canal es discreto.

Véase también

Temas avanzados de comunicación

Enlaces externos

"Tasa de transmisión de un canal" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
Capacidad del canal AWGN con diversas restricciones en la entrada del canal (demostración interactiva)

Referencias

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