Espacio polaco

En la disciplina matemática de la topología general , un espacio polaco es un espacio topológico separable y completamente metrizable ; es decir, un espacio homeomorfo a un espacio métrico completo que tiene un subconjunto denso contable . Los espacios polacos se denominan así porque fueron estudiados extensamente por primera vez por topólogos y lógicos polacos: Sierpiński , Kuratowski , Tarski y otros. Sin embargo, los espacios polacos se estudian principalmente en la actualidad porque son el entorno principal para la teoría de conjuntos descriptivos , incluido el estudio de las relaciones de equivalencia de Borel . Los espacios polacos también son un entorno conveniente para una teoría de la medida más avanzada , en particular en la teoría de la probabilidad .

Ejemplos comunes de espacios polacos son la línea real , cualquier espacio de Banach separable , el espacio de Cantor y el espacio de Baire . Además, algunos espacios que no son espacios métricos completos en la métrica habitual pueden ser polacos; por ejemplo, el intervalo abierto (0, 1) es polaco.

Entre dos espacios polacos incontables cualesquiera , existe un isomorfismo de Borel , es decir, una biyección que conserva la estructura de Borel. En particular, todo espacio polaco incontable tiene la cardinalidad del continuo .

Los espacios de Lusin , los espacios de Suslin y los espacios de Radon son generalizaciones de los espacios polacos.

1. Todo espacio polaco es contable en segundo lugar (en virtud de ser separable y metrizable). ^[1]
2. Un subespacio Q de un espacio polaco P es polaco (según la topología inducida) si y sólo si Q es la intersección de una secuencia de subconjuntos abiertos de P (es decir, Q es un conjunto G _δ ^{). [2]}
3. ( Teorema de Cantor-Bendixson ) Si X es polaco, entonces cualquier subconjunto cerrado de X puede escribirse como la unión disjunta de un conjunto perfecto y un conjunto numerable. Además, si el espacio polaco X es incontable, puede escribirse como la unión disjunta de un conjunto perfecto y un conjunto abierto numerable.
4. Todo espacio polaco es homeomorfo a un subconjunto G _δ del cubo de Hilbert (es decir, de I ^N , donde I es el intervalo unitario y N es el conjunto de números naturales). ^[3]

Los siguientes espacios son polacos:

• subconjuntos cerrados de un espacio polaco,
• subconjuntos abiertos de un espacio polaco,
• productos y uniones disjuntas de familias contables de espacios polacos,
• espacios localmente compactos que son metrizables y contables en el infinito ,
• intersecciones contables de subespacios polacos de un espacio topológico de Hausdorff,
• el conjunto de números irracionales con la topología inducida por la topología estándar de la línea real.

Existen numerosas caracterizaciones que indican cuándo un espacio topológico contable en segundos es metrizable, como el teorema de metrización de Urysohn . El problema de determinar si un espacio metrizable es completamente metrizable es más difícil. A los espacios topológicos como el intervalo unitario abierto (0,1) se les pueden dar tanto métricas completas como métricas incompletas que generen su topología.

Existe una caracterización de espacios métricos separables completos en términos de un juego conocido como el juego fuerte de Choquet . Un espacio métrico separable es completamente metrizable si y solo si el segundo jugador tiene una estrategia ganadora en este juego.

Del teorema de Alexandrov se desprende una segunda caracterización: afirma que un espacio métrico separable es completamente metrizable si y sólo si es un subconjunto de su completitud en la métrica original. $Estilo de visualización G_{\delta}$

Aunque los espacios polacos son metrizables, no son en sí mismos espacios métricos ; cada espacio polaco admite muchas métricas completas que dan lugar a la misma topología, pero ninguna de ellas se distingue o se distingue. Un espacio polaco con una métrica completa distinguida se denomina espacio métrico polaco . Un enfoque alternativo, equivalente al que se da aquí, es definir primero "espacio métrico polaco" como "espacio métrico separable completo", y luego definir un "espacio polaco" como el espacio topológico obtenido a partir de un espacio métrico polaco olvidando la métrica.

Un espacio topológico de Hausdorff es un espacio de Lusin (llamado así por Nikolai Lusin ) si alguna topología más fuerte lo convierte en un espacio polaco.

Existen muchas formas de formar espacios de Lusin. En particular:

• Todo espacio polaco es un espacio de Lusin ^[4]
• Un subespacio de un espacio de Lusin es un espacio de Lusin si y sólo si es un conjunto de Borel. ^[5]
• Cualquier unión o intersección contable de subespacios de Lusin de un espacio de Hausdorff es un espacio de Lusin. ^[6]
• El producto de un número contable de espacios de Lusin es un espacio de Lusin. ^[7]
• La unión disjunta de un número contable de espacios de Lusin es un espacio de Lusin. ^[8]

Un espacio topológico de Hausdorff es un espacio de Suslin (denominado así por Mikhail Suslin ) si es la imagen de un espacio polaco bajo una aplicación continua. Por lo tanto, todo espacio de Lusin es Suslin. En un espacio polaco, un subconjunto es un espacio de Suslin si y solo si es un conjunto de Suslin (una imagen de la operación de Suslin ). ^[9]

Los siguientes son espacios de Suslin:

• subconjuntos cerrados o abiertos de un espacio de Suslin,
• productos contables y uniones disjuntas de espacios de Suslin,
• intersecciones contables o uniones contables de subespacios de Suslin de un espacio topológico de Hausdorff,
• imágenes continuas de espacios de Suslin,
• Subconjuntos de Borel de un espacio de Suslin.

Tienen las siguientes propiedades:

• Cada espacio Suslin es separable.

Un espacio de Radon , llamado así por Johann Radon , es un espacio topológico en el que cada medida de probabilidad de Borel en M es regular internamente . Dado que una medida de probabilidad es globalmente finita y, por lo tanto, una medida localmente finita , cada medida de probabilidad en un espacio de Radon también es una medida de Radon . En particular, un espacio métrico completo separable ( M , d ) es un espacio de Radon.

Cada espacio de Suslin es un espacio de Radon.

Un grupo polaco es un grupo topológico G que es también un espacio polaco, en otras palabras homeomorfo a un espacio métrico completo separable. Hay varios resultados clásicos de Banach , Freudenthal y Kuratowski sobre homomorfismos entre grupos polacos. ^[10] En primer lugar, el argumento de Banach ^[11] se aplica mutatis mutandis a grupos polacos no abelianos: si G y H son espacios métricos separables con G polaco, entonces cualquier homomorfismo de Borel de G a H es continuo. ^[12] En segundo lugar, hay una versión del teorema de aplicación abierta o el teorema de grafo cerrado debido a Kuratowski: ^[13] un homomorfismo inyectivo continuo de un subgrupo polaco G sobre otro grupo polaco H es una aplicación abierta. Como resultado, es un hecho notable acerca de los grupos polacos que las aplicaciones Baire-medibles (es decir, para las que la preimagen de cualquier conjunto abierto tiene la propiedad de Baire ) que son homomorfismos entre ellos son automáticamente continuas. ^[14] El grupo de homeomorfismos del cubo de Hilbert [0,1] ^N es un grupo polaco universal, en el sentido de que todo grupo polaco es isomorfo a un subgrupo cerrado del mismo.

Ejemplos:

• Todos los grupos de Lie de dimensión finita con un número contable de componentes son grupos polacos.
• El grupo unitario de un espacio de Hilbert separable (con la topología de operador fuerte ) es un grupo polaco.
• El grupo de homeomorfismos de un espacio métrico compacto es un grupo polaco.
• El producto de un número contable de grupos polacos es un grupo polaco.
• El grupo de isometrías de un espacio métrico completo separable es un grupo polaco

• Espacio estándar de Borel

• Banach, Stefan (1932). Teoría de las operaciones lineales . Monografie Matematyczne (en francés). Varsovia.{{cite book}}: Mantenimiento de CS1: falta la ubicación del editor ( enlace )
• Bourbaki, Nicolas (1989). "IX. Uso de números reales en topología general". Elementos de matemáticas: Topología general, parte 2 . Springer-Verlag . 3540193723.
• Freudenthal, Hans (1936). "Einige Sätze ueber topologische Gruppen". Ana. de Matemáticas. 37 (1): 46–56. doi :10.2307/1968686. JSTOR  1968686.
• Kuratowski, K. (1966). Topología Vol. I . Prensa académica. ISBN 012429202X.
• Moore, Calvin C. (1976). "Extensiones de grupo y cohomología para grupos localmente compactos. III". Trans. Amer. Math. Soc. 221 : 1–33. doi : 10.1090/S0002-9947-1976-0414775-X .
• Pettis, BJ (1950). "Sobre la continuidad y apertura de homomorfismos en grupos topológicos". Ann. of Math. 51 (2): 293–308. doi :10.2307/1969471. JSTOR  1969471.
• Rogers, LCG; Williams, David (1994). Difusiones, procesos de Markov y martingalas, volumen 1: Fundamentos, 2.ª edición . John Wiley & Sons Ltd.
• Schwartz, Laurent (1973). Medidas de radón en espacios topológicos arbitrarios y medidas cilíndricas . Oxford University Press. ISBN 978-0195605167.
• Srivastava, Sashi Mohan (1998). Un curso sobre conjuntos de Borel. Textos de posgrado en matemáticas . Springer-Verlag . ISBN. 978-0-387-98412-4. Consultado el 4 de diciembre de 2008 .

• Ambrosio, L., Gigli, N. y Savaré, G. (2005). Flujos de gradiente en espacios métricos y en el espacio de medidas de probabilidad . Basilea: ETH Zürich, Birkhäuser Verlag. ISBN 3-7643-2428-7.{{cite book}}: CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
• Arveson, William (1981). Una invitación a las C*-álgebras . Textos de posgrado en matemáticas . Vol. 39. Nueva York: Springer-Verlag . ISBN. 0-387-90176-0.
• Kechris, A. (1995). Teoría clásica de conjuntos descriptivos . Textos de posgrado en matemáticas . Vol. 156. Springer. ISBN. 0-387-94374-9.