Superaditividad

En matemáticas , una función es superaditiva si para todos y en el dominio de${\estilo de visualización f}$${\displaystyle f(x+y)\geq f(x)+f(y)}$${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización y}$${\estilo de visualización f.}$

De manera similar, una secuencia se llama superaditiva si satisface la desigualdad para todos y${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots}$ $$Estilo de visualización a_{n+m}\geq a_{n}+a_{m}}$$${\estilo de visualización m}$${\displaystyle n.}$

El término "superaditivo" también se aplica a funciones desde el álgebra booleana hasta los números reales donde existen probabilidades más bajas . ${\displaystyle P(X\lor Y)\geq P(X)+P(Y),}$

• El mapa es una función superaditiva para números reales no negativos porque el cuadrado de siempre es mayor o igual al cuadrado de más el cuadrado de para números reales no negativos y :${\displaystyle f(x)=x^{2}}$${\estilo de visualización x+y}$${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización y,}$${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización y}$${\displaystyle f(x+y)=(x+y)^{2}=x^{2}+y^{2}+2xy=f(x)+f(y)+2xy.}$

• El determinante es superaditivo para matrices hermíticas no negativas , es decir, si son hermíticas no negativas entonces Esto se desprende del teorema del determinante de Minkowski, que establece de manera más general que es superaditivo (equivalentemente, cóncavo ) ^[1] para matrices hermíticas no negativas de tamaño : Si son hermíticas no negativas entonces${\displaystyle A,B\in {\text{Mat}}_{n}(\mathbb {C} )}$${\displaystyle \det(A+B)\geq \det(A)+\det(B).}$${\displaystyle \det(\cdot )^{1/n}}$${\estilo de visualización n}$${\displaystyle A,B\in {\text{Mat}}_{n}(\mathbb {C} )}$${\displaystyle \det(A+B)^{1/n}\geq \det(A)^{1/n}+\det(B)^{1/n}.}$
• Horst Alzer demostró ^[2] que la función gamma de Hadamard es superaditiva para todos los números reales con${\displaystyle H(x)}$${\displaystyle x,y}$${\displaystyle x,y\geq 1.5031.}$
• Información mutua

Si es una función superaditiva cuyo dominio contiene entonces Para ver esto, tome la desigualdad en la parte superior: Por lo tanto${\displaystyle f}$${\displaystyle 0,}$${\displaystyle f(0)\leq 0.}$${\displaystyle f(x)\leq f(x+y)-f(y).}$${\displaystyle f(0)\leq f(0+y)-f(y)=0.}$

El negativo de una función superaditiva es subaditiva .

La razón principal para el uso de secuencias superaditivas es el siguiente lema de Michael Fekete . ^[3]

Lema: (Fekete) Para cada secuencia superaditiva el límite es igual al supremo (El límite puede ser infinito positivo, como es el caso de la secuencia por ejemplo).${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,}$ ${\displaystyle \lim a_{n}/n}$ ${\displaystyle \sup a_{n}/n.}$${\displaystyle a_{n}=\log n!}$

El análogo del lema de Fekete se aplica también a las funciones subaditivas . Existen extensiones del lema de Fekete que no requieren que la definición de superaditividad anterior se aplique a todas las funciones y También existen resultados que permiten deducir la tasa de convergencia al límite cuya existencia se establece en el lema de Fekete si existe algún tipo de superaditividad y subaditividad. Una buena exposición de este tema se puede encontrar en Steele (1997). ^{[4] [5]}${\displaystyle m}$${\displaystyle n.}$

• Choque integral
• Medida interior
• Subaditividad  – Propiedad de algunas funciones matemáticas
• Función sublineal  – Tipo de función en álgebra lineal

Notas

• György Polya y Gábor Szegö. (1976). Problemas y teoremas en análisis, volumen 1. Springer-Verlag, Nueva York. ISBN 0-387-05672-6.

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