Hispanopedia Wiki
Articulo de referencia

Función subarmónica

En matemáticas , las funciones subarmónicas y superarmónicas son clases importantes de funciones que se utilizan ampliamente en ecuaciones diferenciales parciales , análisis com...

Hispanopedia WikiContenido en espanolLectura gratuita

En matemáticas , las funciones subarmónicas y superarmónicas son clases importantes de funciones que se utilizan ampliamente en ecuaciones diferenciales parciales , análisis complejo y teoría del potencial .

Intuitivamente, las funciones subarmónicas se relacionan con las funciones convexas de una variable de la siguiente manera: si la gráfica de una función convexa y una recta se intersecan en dos puntos, entonces la gráfica de la función convexa se encuentra por debajo de la recta que une esos puntos. Del mismo modo, si los valores de una función subarmónica no son mayores que los valores de una función armónica en el borde de una esfera , entonces los valores de la función subarmónica no son mayores que los valores de la función armónica dentro de la esfera.

Las funciones superarmónicas se pueden definir con la misma descripción, solo que reemplazando "no mayor" por "no menor". Alternativamente, una función superarmónica es simplemente la inversa de una función subarmónica, y por esta razón cualquier propiedad de las funciones subarmónicas se puede transferir fácilmente a las superarmónicas.

Definición formal

Formalmente, la definición se puede enunciar de la siguiente manera. SeaGRAMO{\displaystyle G}ser un subconjunto del espacio euclidianoRnorte{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}y dejar φ:GRAMO→R∪{−∞}{\displaystyle \varphi \colon G\to \mathbb {R} \cup \{-\infty \}} Sea una función semicontinua superior . Entonces,φ{\displaystyle \varphi }Se denomina subarmónico si para cualquier bola cerradaB(incógnita,r)¯{\displaystyle {\overline {B(x,r)}}}del centroincógnita{\displaystyle x}y radior{\displaystyle r}contenido enGRAMO{\displaystyle G}y toda función continua de valor realh{\displaystyle h}enB(incógnita,r)¯{\displaystyle {\overline {B(x,r)}}}que es armónico enB(incógnita,r){\displaystyle B(x,r)}y satisfaceφ(y)≤h(y){\displaystyle \varphi (y)\leq h(y)}a pesar dey{\displaystyle y}en el límite∂B(incógnita,r){\displaystyle \partial B(x,r)}deB(incógnita,r){\displaystyle B(x,r)}, tenemosφ(y)≤h(y){\displaystyle \varphi (y)\leq h(y)}a pesar dey∈B(incógnita,r).{\displaystyle y\in B(x,r).}

Nótese que, según lo anterior, la función que es idénticamente −∞ es subarmónica, pero algunos autores excluyen esta función por definición.

Una funcióntú{\displaystyle u}se llama superarmónico si−tú{\displaystyle -u}es subarmónico.

Propiedades

  • Una función es armónica si y solo si es a la vez subarmónica y superarmónica.
  • Siϕ{\displaystyle \phi }es C 2 ( dos veces continuamente diferenciable ) en un conjunto abiertoGRAMO{\displaystyle G}enRnorte{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}, entoncesϕ{\displaystyle \phi }es subarmónico si y solo si uno tieneΔϕ≥0{\displaystyle \Delta \phi \geq 0}enGRAMO{\displaystyle G}, dóndeΔ{\displaystyle \Delta }es el laplaciano .
  • El máximo de una función subarmónica no se puede alcanzar en el interior de su dominio a menos que la función sea constante, lo que se conoce como el principio del máximo . Sin embargo, el mínimo de una función subarmónica sí se puede alcanzar en el interior de su dominio.
  • Las funciones subarmónicas forman un cono convexo ; es decir, una combinación lineal de funciones subarmónicas con coeficientes positivos también es subarmónica.
  • El máximo puntual de dos funciones subarmónicas es subarmónico. Si el máximo puntual de un número contable de funciones subarmónicas es semicontinuo superior, entonces también es subarmónico.
  • El límite de una sucesión decreciente de funciones subarmónicas es subarmónico (o idénticamente igual a−∞{\displaystyle -\infty }).
  • Las funciones subarmónicas no son necesariamente continuas en la topología usual; sin embargo, se puede introducir una topología más fina que las haga continuas.

Ejemplos

SiF{\displaystyle f}es analítico entoncesregistro⁡|F|{\displaystyle \log |f|}es subarmónica. Se pueden construir más ejemplos utilizando las propiedades mencionadas anteriormente, tomando máximos, combinaciones convexas y límites. En dimensión 1, todas las funciones subarmónicas se pueden obtener de esta manera.

Teorema de representación de Riesz

Sitú{\displaystyle u}es subarmónico en una regiónD{\displaystyle D}, en el espacio euclidiano de dimensiónnorte{\displaystyle n},v{\displaystyle v}es armónico enD{\displaystyle D}, ytú≤v{\displaystyle u\leq v}, entoncesv{\displaystyle v}se llama mayorante armónica detú{\displaystyle u}. Si existe una mayorante armónica, entonces existe la menor mayorante armónica, y tú(incógnita)=v(incógnita)−∫Ddμ(y)|incógnita−y|norte−2,norte≥3{\displaystyle u(x)=v(x)-\int _{D}{\frac {d\mu (y)}{|x-y|^{n-2}}},\quad n\geq 3} mientras que en la dimensión 2, tú(incógnita)=v(incógnita)+∫Dregistro⁡|incógnita−y|dμ(y),{\displaystyle u(x)=v(x)+\int _{D}\log |x-y|d\mu (y),} dóndev{\displaystyle v}es la mayorante menos armónica, yμ{\displaystyle \mu }es una medida de Borel enD{\displaystyle D}Esto se conoce como el teorema de representación de Riesz .

Funciones subarmónicas en el plano complejo

Las funciones subarmónicas son de particular importancia en el análisis complejo , donde están íntimamente conectadas con las funciones holomorfas .

Se puede demostrar que una función continua de valor realφ{\displaystyle \varphi }de una variable compleja (es decir, de dos variables reales) definida en un conjuntoGRAMO⊂do{\displaystyle G\subset \mathbb {C} }es subarmónico si y solo si para cualquier disco cerradoD(z,r)⊂GRAMO{\displaystyle D(z,r)\subset G}del centroz{\displaystyle z}y radior{\displaystyle r}uno tiene φ(z)≤12π∫02πφ(z+rmiiθ)dθ.{\displaystyle \varphi (z)\leq {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\varphi (z+re^{i\theta })\,d\theta .}

Intuitivamente, esto significa que una función subarmónica no es mayor en ningún punto que el promedio de los valores en un círculo alrededor de ese punto, un hecho que puede usarse para derivar el principio del máximo .

SiF{\displaystyle f}es una función holomorfa, entonces φ(z)=registro⁡|F(z)|{\displaystyle \varphi (z)=\log \left|f(z)\right|} es una función subarmónica si definimos el valor deφ(z){\displaystyle \varphi (z)}en los ceros deF{\displaystyle f}ser−∞{\displaystyle -\infty }De ello se deduce que ψα(z)=|F(z)|α{\displaystyle \psi _{\alpha }(z)=\left|f(z)\right|^{\alpha }} es subarmónico para todo α  > 0. Esta observación juega un papel en la teoría de los espacios de Hardy , especialmente para el estudio de H p cuando 0  < p  <  1.

En el contexto del plano complejo, la conexión con las funciones convexas también puede realizarse por el hecho de que una función subarmónicaF{\displaystyle f}en un dominioGRAMO⊂do{\displaystyle G\subset \mathbb {C} }que es constante en la dirección imaginaria es convexa en la dirección real y viceversa.

Mayorantes armónicas de funciones subarmónicas

Sitú{\displaystyle u}es subarmónico en una regiónΩ{\displaystyle \Omega }del plano complejo, yh{\displaystyle h}es armónico enΩ{\displaystyle \Omega }, entoncesh{\displaystyle h}es una mayorante armónica detú{\displaystyle u}enΩ{\displaystyle \Omega }sitú≤h{\displaystyle u\leq h}enΩ{\displaystyle \Omega }. Dicha desigualdad puede considerarse una condición de crecimiento entú{\displaystyle u}. [ 1 ]

Funciones subarmónicas en el disco unitario. Función radial máxima.

Sea φ una función subarmónica, continua y no negativa en un subconjunto abierto Ω del plano complejo que contiene el disco unitario cerrado D (0,  1). La función radial máxima para la función φ (restringida al disco unitario) se define en el círculo unitario por (METROφ)(miiθ)=sorber0≤r<1φ(rmiiθ).{\displaystyle (M\varphi )(e^{i\theta })=\sup _{0\leq r<1}\varphi (re^{i\theta }).} Si P r denota el núcleo de Poisson , se deduce de la subarmonicidad que 0≤φ(rmiiθ)≤12π∫02πPAGr(θ−t)φ(miit)dt,   r<1.{\displaystyle 0\leq \varphi (re^{i\theta })\leq {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }P_{r}\left(\theta -t\right)\varphi \left(e^{it}\right)\,dt,\ \ \ r<1.} Se puede demostrar que la última integral es menor que el valor en e iθ de la función máxima de Hardy-Littlewood φ ∗ de la restricción de φ al círculo unitario T , φ∗(miiθ)=sorber0<α≤π12α∫θ−αθ+αφ(miit)dt,{\displaystyle \varphi ^{*}(e^{i\theta })=\sup _{0<\alpha \leq \pi }{\frac {1}{2\alpha }}\int _{\theta -\alpha }^{\theta +\alpha }\varphi \left(e^{it}\right)\,dt,} de modo que 0  ≤ M φ ≤ φ ∗ . Se sabe que el operador de Hardy-Littlewood está acotado en L p ( T ) cuando 1 < p < ∞. De ello se deduce que para alguna constante universal C ,     ‖METROφ‖L2(T)2≤do2∫02πφ(miiθ)2dθ.{\displaystyle \|M\varphi \|_{L^{2}(\mathbf {T} )}^{2}\leq C^{2}\,\int _{0}^{2\pi }\varphi (e^{i\theta })^{2}\,d\theta .}

Si f es una función holomorfa en Ω y 0  < p  < ∞, entonces la desigualdad anterior se aplica a φ  = | f | p /2 . De estos hechos se puede deducir que cualquier función F en el espacio de Hardy clásico H p satisface ∫02π(sorber0≤r<1|F(rmiiθ)|)pagdθ≤do2sorber0≤r<1∫02π|F(rmiiθ)|pagdθ.{\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\left(\sup _{0\leq r<1}\left|F(re^{i\theta })\right|\right)^{p}\,d\theta \leq C^{2}\,\sup _{0\leq r<1}\int _{0}^{2\pi }\left|F(re^{i\theta })\right|^{p}\,d\theta .} Con más trabajo, se puede demostrar que F tiene límites radiales F ( e iθ ) casi en todas partes del círculo unitario, y (por el teorema de convergencia dominada ) que F r , definido por F r ( e iθ )  = F ( r e iθ ) tiende a F en L p ( T ).

Funciones subarmónicas en variedades riemannianas

Las funciones subarmónicas pueden definirse en una variedad riemanniana arbitraria .

Definición: Sea M una variedad riemanniana, yF:METRO→R{\displaystyle f:\;M\to \mathbb {R} }una función semicontinua superior . Supongamos que para cualquier subconjunto abiertoU⊂METRO{\displaystyle U\subset M}y cualquier función armónica f 1 en U , tal queF1≥F{\displaystyle f_{1}\geq f}en el límite de U , la desigualdadF1≥F{\displaystyle f_{1}\geq f}se cumple en todos los U. Entonces f se llama subarmónico .

Esta definición es equivalente a la dada anteriormente. Además, para funciones dos veces diferenciables, la subarmonicidad es equivalente a la desigualdadΔF≥0{\displaystyle \Delta f\geq 0}, dóndeΔ{\displaystyle \Delta }es el laplaciano usual . [ 2 ]

Véase también

Referencias

  1. ^ Rosenblum y Rovnyak 1994 , pág. 35.
  2. ↑ Greene, RE ; Wu, H. (1974). "Integrales de funciones subarmónicas en variedades de curvatura no negativa". Inventiones Mathematicae . 27 (4): 265– 298. Bibcode : 1974InMat..27..265G . doi : 10.1007/BF01425500 . S2CID 122233796 . , MR 0382723 

Obras citadas

  • Rosenblum, Marvin; Rovnyak, James (1994). Temas sobre clases de Hardy y funciones univalentes . Textos avanzados de Birkhauser: Libros de texto de Basilea. Basilea: Birkhauser Verlag.

Referencias generales

  • Conway, John B. (1978). Funciones de una variable compleja . Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90328-3.
  • Krantz, Steven G. (1992). Teoría de funciones de varias variables complejas . Providence, Rhode Island: AMS Chelsea Publishing. ISBN 0-8218-2724-3.
  • Doob, Joseph Leo (1984). Teoría clásica del potencial y su contraparte probabilística . Berlín Heidelberg Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 3-540-41206-9.

Este artículo incorpora material de Funciones subarmónicas y superarmónicas en PlanetMath , que está bajo la licencia Creative Commons Attribution/Share-Alike .