Similitud (ciencia de redes)

La similitud en el análisis de redes se produce cuando dos nodos (u otras estructuras más elaboradas) pertenecen a la misma clase de equivalencia.

Existen tres enfoques fundamentales para construir medidas de similitud de redes: equivalencia estructural, equivalencia automórfica y equivalencia regular. ^{[ 1 ]} Existe una jerarquía entre los tres conceptos de equivalencia: cualquier conjunto de equivalencias estructurales también son equivalencias automórficas y regulares. Cualquier conjunto de equivalencias automórficas también son equivalencias regulares. No todas las equivalencias regulares son necesariamente automórficas o estructurales; y no todas las equivalencias automórficas son necesariamente estructurales. ^{[ 2 ]}

Dos vértices de una red son estructuralmente equivalentes si comparten muchos de los mismos vecinos.

No existe ningún actor que tenga exactamente el mismo conjunto de vínculos que el actor A, por lo que el actor A pertenece a una clase aparte. Lo mismo ocurre con los actores B, C, D y G. Cada uno de estos nodos tiene un conjunto único de aristas hacia otros nodos. Sin embargo, E y F pertenecen a la misma clase de equivalencia estructural. Cada uno tiene solo una arista, y esa conexión es con B. Dado que E y F tienen exactamente el mismo patrón de aristas con todos los vértices, son estructuralmente equivalentes. Lo mismo sucede con H e I. ^{[ 2 ]}

La equivalencia estructural es la forma más fuerte de similitud. En muchas redes reales, la equivalencia exacta puede ser poco frecuente, por lo que podría ser útil flexibilizar los criterios y medir la equivalencia aproximada.

Un concepto estrechamente relacionado es la equivalencia institucional : dos actores (por ejemplo, empresas) son institucionalmente equivalentes si operan en el mismo conjunto de campos institucionales. ^{[ 3 ]} Si bien los actores estructuralmente equivalentes tienen patrones relacionales o posiciones en la red idénticos, la equivalencia institucional refleja la similitud de las influencias institucionales que experimentan los actores al estar en los mismos campos, independientemente de cuán similares sean sus posiciones en la red. Por ejemplo, dos bancos en Chicago podrían tener patrones de vínculos muy diferentes (por ejemplo, uno podría ser un nodo central y el otro estar en una posición periférica), de modo que no sean estructuralmente equivalentes, pero debido a que ambos operan en el campo de las finanzas y la banca y en el mismo campo geográficamente definido (Chicago), estarán sujetos a algunas de las mismas influencias institucionales. ^{[ 3 ]}

Formalmente, "Dos vértices son automórficamente equivalentes si todos los vértices pueden ser reetiquetados para formar un grafo isomorfo con las etiquetas u y v intercambiadas. Dos vértices automórficamente equivalentes comparten exactamente las mismas propiedades independientes de la etiqueta." ^{[ 5 ]}

De forma más intuitiva, los actores son automórficamente equivalentes si podemos permutar el grafo de tal manera que el intercambio de los dos actores no tenga ningún efecto sobre las distancias entre todos los actores del grafo.

Supongamos que el gráfico describe la estructura organizativa de una empresa. El actor A es la sede central, los actores B, C y D son gerentes. Los actores E, F, H e I son trabajadores de tiendas más pequeñas; G es el único trabajador de otra tienda.

Aunque el actor B y el actor D no son estructuralmente equivalentes (tienen el mismo jefe, pero no los mismos empleados), parecen ser "equivalentes" en otro sentido. Tanto el gerente B como el D tienen un jefe (en este caso, el mismo) y cada uno tiene dos empleados. Si los intercambiáramos, junto con los cuatro empleados, todas las distancias entre los actores de la red serían exactamente idénticas.

En realidad, existen cinco clases de equivalencia automórfica: {A}, {B, D}, {C}, {E, F, H, I} y {G}. Cabe señalar que la definición menos estricta de "equivalencia" ha reducido el número de clases. ^{[ 2 ]}

Formalmente, "Dos actores son regularmente equivalentes si están igualmente relacionados con otros equivalentes". En otras palabras, los vértices regularmente equivalentes son vértices que, si bien no necesariamente comparten vecinos, tienen vecinos que son similares entre sí. ^{[ 5 ]}

Dos madres, por ejemplo, son equivalentes porque cada una tiene un patrón similar de conexiones con un esposo, hijos, etc. Las dos madres no tienen vínculos con el mismo esposo ni con los mismos hijos, por lo que no son estructuralmente equivalentes. Dado que diferentes madres pueden tener diferente número de esposos e hijos, no serán automórficamente equivalentes. Pero son similares porque tienen las mismas relaciones con algún miembro o miembros de otro conjunto de actores (que a su vez se consideran equivalentes debido a la similitud de sus vínculos con un miembro del conjunto "madre"). ^{[ 2 ]}

En el gráfico hay tres clases de equivalencia regulares. La primera es el actor A; la segunda está compuesta por los tres actores B, C y D; la tercera consta de los cinco actores restantes E, F, G, H e I.

La clase más fácil de visualizar son los cinco actores que se encuentran en la parte inferior del diagrama (E, F, G, H e I). Estos actores son regularmente equivalentes entre sí porque:

1. no tienen ningún vínculo con ningún actor de primera clase (es decir, con el actor A) y
2. Cada uno tiene un empate con un actor de la segunda clase (ya sea B, C o D).

Por lo tanto, cada uno de los cinco actores tiene un patrón idéntico de vínculos con actores de las otras clases.

Los actores B, C y D forman una clase de manera similar. B y D tienen vínculos con dos miembros de la tercera clase, mientras que el actor C solo tiene un vínculo con un miembro de la tercera clase, pero esto no importa, ya que existe algún vínculo con algún miembro de la tercera clase.

El actor A pertenece a una clase propia, definida por:

1. un empate con al menos un miembro de la clase dos y
2. sin vínculo con ningún miembro de la clase tres. ^{[ 2 ]}

• Medida de similitud
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