Ruptura extraña

En matemáticas aplicadas, la descomposición de Strang es un método numérico para resolver ecuaciones diferenciales que se pueden descomponer en una suma de operadores diferenciales. Recibe su nombre de Gilbert Strang . Se utiliza para acelerar los cálculos en problemas que involucran operadores en escalas de tiempo muy diferentes, por ejemplo, reacciones químicas en dinámica de fluidos , y para resolver ecuaciones diferenciales parciales multidimensionales reduciéndolas a una suma de problemas unidimensionales.

Como precursora de la división de Strang, consideremos una ecuación diferencial de la forma

${\displaystyle {\frac {d{y}}{dt}}=L_{1}({y})+L_{2}({y})}$

dónde${\displaystyle L_{1}}$,${\displaystyle L_{2}}$son operadores diferenciales . Si${\displaystyle L_{1}}$y${\displaystyle L_{2}}$Si las matrices de coeficientes fueran constantes, entonces la solución exacta al problema de valor inicial asociado sería:

${\ Displaystyle y (t) = e ^ {(L_ {1} + L_ {2}) t} y_ {0}}$.

Si${\displaystyle L_{1}}$y${\displaystyle L_{2}}$conmutar, entonces por las leyes exponenciales esto es equivalente a

${\displaystyle y(t)=e^{L_{1}t}e^{L_{2}t}y_{0}}$.

Si no lo hacen, entonces, según la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff, todavía es posible reemplazar la exponencial de la suma por un producto de exponenciales a costa de un error de segundo orden:

${\displaystyle e^{(L_{1}+L_{2})t}y_{0}=e^{L_{1}t}e^{L_{2}t}y_{0}+{\mathcal {O}}(t^{2})}$.

Esto da lugar a un esquema numérico en el que, en lugar de resolver el problema inicial original, se resuelven ambos subproblemas de forma alternada:

${\displaystyle {\tilde {y}}_{1}=e^{L_{1}\Delta t}y_{0}}$

${\displaystyle y_{1}=e^{L_{2}\Delta t}{\tilde {y}}_{1}}$

${\displaystyle {\tilde {y}}_{2}=e^{L_{1}\Delta t}y_{1}}$

${\displaystyle y_{2}=e^{L_{2}\Delta t}{\tilde {y}}_{2}}$

etc.

En este contexto,${\displaystyle e^{L_{1}\Delta t}}$es un esquema numérico que resuelve el subproblema

${\displaystyle {\frac {d{y}}{dt}}=L_{1}({y})}$

hasta el primer orden. El enfoque no se limita a problemas lineales, es decir,${\displaystyle L_{1}}$puede ser cualquier operador diferencial.

La división de Strang extiende este enfoque al segundo orden al elegir otro orden de operaciones . En lugar de tomar pasos de tiempo completos con cada operador, se realizan pasos de tiempo de la siguiente manera:

${\displaystyle {\tilde {y}}_{1}=e^{L_{1}{\frac {\Delta t}{2}}}y_{0}}$

${\displaystyle {\bar {y}}_{1}=e^{L_{2}\Delta t}{\tilde {y}}_{1}}$

${\displaystyle y_{1}=e^{L_{1}{\frac {\Delta t}{2}}}{\bar {y}}_{1}}$

${\displaystyle {\tilde {y}}_{2}=e^{L_{1}{\frac {\Delta t}{2}}}y_{1}}$

${\displaystyle {\bar {y}}_{2}=e^{L_{2}\Delta t}{\tilde {y}}_{2}}$

${\displaystyle y_{2}=e^{L_{1}{\frac {\Delta t}{2}}}{\bar {y}}_{2}}$

etc.

Se puede demostrar que la división de Strang es de segundo orden utilizando la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff, el análisis de árboles enraizados o una comparación directa de los términos de error utilizando la expansión de Taylor. Para que el esquema sea preciso de segundo orden,${\displaystyle e^{\cdots }}$También debe ser una aproximación de segundo orden al operador de solución.

• Lista de temas de división de operadores
• División de matrices

• Strang, Gilbert. Sobre la construcción y comparación de esquemas de diferencias . SIAM Journal on Numerical Analysis 5.3 (1968): 506–517. doi : 10.1137/0705041
• McLachlan, Robert I. y G. Reinout W. Quispel. Métodos de división. Acta Numérica 11 (2002): 341–434. doi : 10.1017/S0962492902000053
• LeVeque, Randall J. , Métodos de volumen finito para problemas hiperbólicos . Vol. 31. Cambridge University Press, 2002. (pbk ISBN) 0-521-00924-3)