Número de palo

En la teoría matemática de nudos , el número de varillas es un invariante de nudos que intuitivamente da el número mínimo de "varillas" rectas unidas extremo con extremo necesarias para formar un nudo. Específicamente, dado cualquier nudo${\displaystyle K}$, el número de palos de${\displaystyle K}$, denotado por${\displaystyle \operatorname {stick} (K)}$, es el número más pequeño de aristas de un camino poligonal equivalente a${\displaystyle K}$Una magnitud relacionada es el número de varillas equiláteras , que representa la menor cantidad de aristas de la misma longitud necesarias para formar un nudo. Actualmente se desconoce si el número de varillas equiláteras coincide con el número de varillas para cada nudo .

Seis es el número de varillas más bajo para cualquier nudo no trivial. Hay pocos nudos cuyo número de varillas se pueda determinar con exactitud. Gyo Taek Jin determinó el número de varillas de un${\displaystyle (p,q)}$- nudo toroidal${\displaystyle T(p,q)}$en caso de que los parámetros${\displaystyle p}$y${\displaystyle q}$no están demasiado lejos el uno del otro: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle \operatorname {stick} (T(p,q))=2q}$, si${\displaystyle 2\leq p<q\leq 2p.}$

El mismo resultado fue hallado de forma independiente casi al mismo tiempo por un grupo de investigación liderado por Colin Adams , pero para un rango de parámetros más pequeño. ^{[ 2 ]}

Hay ciertos nudos para los cuales el límite superior e inferior del número de varillas son iguales, de modo que el número de varillas se conoce con exactitud. Estos incluyen 3 ₁ con un número de varillas de 6, 4 ₁ (7), todos los nudos de 5 y 6 cruces (8), y todos los nudos de 7 cruces (9). Los nudos de 8 cruces del 16 al 21 en la notación de Alexander-Briggs (8 o 9), y los nudos de 9 cruces 29, 34, 35 y del 39 al 49 (9), y 10 ₁₂₄ (10, un nudo toroidal) tienen números de cruces conocidos. Hay 19 nudos adicionales no alternantes de 11 y 13 cruces con un número de varillas exactamente 10. ^{[ 3 ]}

El número de palos de una suma de nudos puede ser acotado superiormente por los números de palos de los sumandos: ^{[ 5 ]}$${\displaystyle {\text{stick}}(K_{1}\#K_{2})\leq {\text{stick}}(K_{1})+{\text{stick}}(K_{2})-3\,}$$

El número de palo de un nudo${\displaystyle K}$está relacionado con su número de cruce${\displaystyle c(K)}$por las siguientes desigualdades: ^{[ 6 ]}$${\displaystyle {\frac {1}{2}}(7+{\sqrt {8\,{\text{c}}(K)+1}})\leq {\text{stick}}(K)\leq {\frac {3}{2}}(c(K)+1).}$$

Estas desigualdades son estrictas para el nudo de trébol , que tiene un número de cruces de 3 y un número de varillas de 6. El límite superior del número de varillas no se aplica al nudo simple , que tiene un número de cruces de 0 pero un número de varillas de 3.

Los nudos pueden dibujarse con menos segmentos rectos de los que sugiere su número de segmentos. Estos diagramas son ilusiones ópticas, y las representaciones tridimensionales de dichos nudos requerirían que las líneas aparentes se curvaran. Un ejemplo es un pentagrama entrelazado de cinco segmentos , que es un diagrama válido del nudo trébol, pero que no puede representarse con segmentos rectos. Se requieren al menos seis segmentos rectos para representar un nudo trébol.

• Weisstein, Eric W. , "Número de palo" , MathWorld
• " Números de varillas para nudos de varillas mínimos ", Sitio de investigación y desarrollo de KnotPlot .