Problema de la varilla de acero

En matemáticas , y en particular en la teoría de la homología , el problema de Steenrod (llamado así en honor al matemático Norman Steenrod ) es un problema relacionado con la realización de clases de homología por variedades singulares. ^{[ 1 ]}

Dejar${\displaystyle M}$ser una variedad cerrada y orientada de dimensión${\displaystyle n}$y dejar${\displaystyle [M]\in H_{n}(M)}$sea ​​su clase de orientación. Aquí${\displaystyle H_{n}(M)}$denota la integral,${\displaystyle n}$grupo de homología dimensional de${\displaystyle M}$Cualquier mapa continuo${\displaystyle f\colon M\to X}$define un homomorfismo inducido${\displaystyle f_{*}\colon H_{n}(M)\to H_{n}(X)}$. ^{[ 2 ]} Una clase de homología de${\displaystyle H_{n}(X)}$se denomina realizable si es de la forma${\displaystyle f_{*}[M]}$para algún colector${\displaystyle M}$y mapa${\displaystyle f:M\to X}$El problema de Steenrod se ocupa de describir las clases de homología realizables de${\displaystyle H_{n}(X)}$. ^{[ 3 ]}

Todos los elementos de${\displaystyle H_{k}(X)}$son realizables mediante colectores lisos proporcionados${\displaystyle k\leq 6}$. Además, cualquier ciclo puede realizarse mediante el mapeo de una pseudovariedad . ^{[ 3 ]}

La suposición de que M sea orientable puede relajarse. En el caso de variedades no orientables, cada clase de homología de${\displaystyle H_{n}(X,\mathbb {Z} _{2})}$, dónde${\displaystyle \mathbb {Z} _ {2}}$denota los enteros módulo 2, se puede realizar mediante una variedad no orientada,${\displaystyle f\colon M^{n}\to X}$. ^{[ 3 ]}

Para variedades diferenciables M el problema se reduce a encontrar la forma del homomorfismo${\displaystyle \Omega _{n}(X)\to H_{n}(X)}$, dónde${\displaystyle \Omega _{n}(X)}$es el grupo de bordismo orientado ^{de X. [ 4 ]} La conexión entre ^{los grupos} de bordismo ${\displaystyle \Omega _{*}}$y los espacios de Thom MSO( k ) aclararon el problema de Steenrod al reducirlo al estudio de los homomorfismos.${\displaystyle H_{*}(\operatorname {MSO} (k))\to H_{*}(X)}$. ^{[ 3 ] [ 5 ]} En su artículo fundamental de 1954, ^{[ 5 ]} René Thom produjo un ejemplo de una clase no realizable,${\displaystyle [M]\in H_{7}(X)}$donde M es el espacio de Eilenberg-MacLane${\displaystyle K(\mathbb {Z} _{3}\oplus \mathbb {Z} _{3},1)}$.

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