Código Steane

El código Steane es una herramienta de corrección de errores cuánticos introducida por Andrew Steane en 1996. Se trata de un código CSS (Calderbank-Shor-Steane) que utiliza el código Hamming binario clásico [7,4,3] para corregir tanto errores de inversión de cúbit (errores X) como errores de inversión de fase (errores Z). El código Steane codifica un cúbit lógico en 7 cúbits físicos y es capaz de corregir errores arbitrarios de un solo cúbit.

Su matriz de verificación en forma estándar es

${\displaystyle {\begin{bmatrix}H&0\\0&H\end{bmatrix}}}$

donde H es la matriz de verificación de paridad del código de Hamming y está dada por

${\displaystyle H={\begin{bmatrix}1&0&0&1&0&1&1\\0&1&0&1&1&0&1\\0&0&1&0&1&1&1\end{bmatrix}}.}$

El${\displaystyle [[7,1,3]]}$El código Steane es el primero de la familia de códigos de Hamming cuánticos, códigos con parámetros${\displaystyle [[2^{r}-1,2^{r}-1-2r,3]]}$para números enteros${\displaystyle r\geq 3}$También es un código de color cuántico.

En un código de corrección de errores cuánticos, el espacio de códigos es el subespacio del espacio de Hilbert general donde residen todos los estados lógicos. En un${\displaystyle n}$-código estabilizador de qubits , podemos describir este subespacio por su grupo estabilizador de Pauli, el conjunto de todos${\displaystyle n}$Operadores de Pauli de -qubit que estabilizan cada estado lógico. El formalismo del estabilizador nos permite definir el espacio de códigos de un código estabilizador especificando su grupo estabilizador de Pauli. Podemos describir eficientemente este grupo exponencialmente grande enumerando sus generadores .

Dado que el código de Steane codifica un cúbit lógico en 7 cúbits físicos, el espacio de códigos para el código de Steane es un${\displaystyle 2}$subespacio -dimensional de su${\displaystyle 2^{7}}$Espacio de Hilbert de -dimensiones.

En el formalismo del estabilizador , el código de Steane tiene 6 generadores:

${\displaystyle {\begin{aligned}&IIIXXXX\\&IXXIIXX\\&XIXIXIX\\&IIIZZZZ\\&IZZIIZZ\\&ZIZIZIZ.\end{aligned}}}$

Tenga en cuenta que cada uno de los generadores anteriores es el producto tensorial de 7 operaciones de Pauli de un solo qubit. Por ejemplo,${\displaystyle IIIXXXX}$es simplemente una abreviatura de${\displaystyle I\otimes I\otimes I\otimes X\otimes X\otimes X\otimes X}$, es decir, una identidad en los tres primeros cúbits y una${\displaystyle X}$Se aplica una puerta lógica a cada uno de los últimos cuatro cúbits. Los productos tensoriales a menudo se omiten en la notación por brevedad.

La lógica${\displaystyle X}$y${\displaystyle Z}$las puertas son

${\displaystyle {\begin{aligned}X_{L}&=XXXXXXX\\Z_{L}&=ZZZZZZZ.\end{aligned}}}$

La lógica${\displaystyle |0\rangle }$y${\displaystyle |1\rangle }$estados del código Steane son

${\displaystyle {\begin{aligned}|0\rangle _{L}=&{\frac {1}{\sqrt {8}}}[|0000000\rangle +|1010101\rangle +|0110011\rangle +|1100110\rangle \\&+|0001111\rangle +|1011010\rangle +|0111100\rangle +|1101001\rangle ]\\|1\rangle _{L}=&X_{L}|0\rangle _{L}.\end{aligned}}}$

Los códigos arbitrarios son de la forma${\displaystyle |\psi \rangle =\alpha |0\rangle _{L}+\beta |1\rangle _{L}}$.

• Steane, Andrew (1996). "Interferencia de partículas múltiples y corrección de errores cuánticos". Proc. R. Soc. Lond. A . 452 (1954): 2551– 2577. arXiv : quant-ph/9601029 . Bibcode : 1996RSPSA.452.2551S . doi : 10.1098/rspa.1996.0136 . S2CID 8246615 .