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Promedio

En matemáticas , el promedio de un conjunto o grupo es un valor que es el más central , común o típico en algún sentido, y representa su posición general . En matemáticas, se re...

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En matemáticas , el promedio de un conjunto o grupo es un valor que es el más central , común o típico en algún sentido, y representa su posición general . En matemáticas, se refiere más comúnmente a la media aritmética , pero también puede referirse a otras medidas como otros tipos de media , la mediana o la moda .

Definiciones

Representación de la media aritmética , la mediana y la moda de un conjunto de 250 puntos. La curva negra representa la distribución teórica utilizada para generar los puntos, mientras que el histograma gris muestra la distribución real.
Cuatro medias de dos números, a y b, construidas como cuerdas en un semicírculo. Las medias aritmética, geométrica y armónica se conocen a veces como « medias pitagóricas » [ 1 ] . Este tipo de construcción resalta el orden de los valores de las diferentes medias.

La definición más comúnmente utilizada del promedio es la media aritmética , [ 2 ] es decir, la suma dividida por el recuento, por lo que el "promedio" de la lista de números [2, 3, 4, 7, 9] generalmente se considera que es (2+3+4+7+9)/5 = 25/5 = 5.

Sin embargo, a veces se utilizan otros significados según el contexto, lo que puede generar confusión; por ejemplo, en la enseñanza, "promedio" a veces se refiere a "las tres M": media , mediana y moda . [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]

La mediana , definida como el valor central tras ordenar el grupo, se utiliza habitualmente como promedio en situaciones donde los datos están sesgados o presentan valores atípicos , con el fin de centrarse en la parte principal del grupo en lugar de en la cola larga . Por ejemplo, el ingreso personal promedio se suele expresar como el ingreso mediano , de modo que representa a la mayoría de la población en lugar de estar excesivamente influenciado por los ingresos mucho más elevados de unos pocos ricos. [ 10 ]

La media armónica , definida como el recíproco de la media de los recíprocos, se utiliza en diversas situaciones que involucran tasas o proporciones , como el cálculo de la velocidad promedio a partir de múltiples mediciones tomadas sobre la misma distancia [ 11 ] . De hecho, a diferencia de una media aritmética o mediana de velocidades, una media armónica de velocidades proporciona el valor de la velocidad constante que permitiría recorrer la misma distancia en el mismo tiempo.

La moda representa el valor más común encontrado en el grupo. Se puede utilizar cuando los datos son categóricos en lugar de numéricos , [ 12 ] cuando la frecuencia de cada valor es relevante (como cuando se hace referencia a un histograma , un gráfico de barras o una función de densidad de probabilidad ), [ 13 ] o para encontrar un valor que represente a la mayoría del grupo. [ 14 ]

Otras estadísticas que pueden utilizarse como promedio incluyen el rango medio , la media cuadrática o la media geométrica , pero rara vez se las denomina "el promedio".

Estas diferentes cantidades estiman la tendencia central de un grupo, cada una con sus ventajas e inconvenientes. Matemáticamente, pueden considerarse como la resolución de diferentes problemas variacionales .

Propiedades generales

Todos los promedios de una colección se encuentran dentro de su cuadro delimitador (y, por lo tanto, para los números reales, entre su máximo y su mínimo ). Por consiguiente, si una colección consta enteramente del mismo valor, cualquier promedio de la misma es ese valor. [ 15 ]

La mayoría de los promedios [ a ] son ​​monótonos , es decir, mover un miembro de ellos en una dirección hace que el promedio se mueva en la misma dirección, o equivalentemente, si dos colecciones de números A y B tienen el mismo número de elementos , y se pueden ordenar de tal manera que cada entrada en A ≥ la entrada correspondiente en B , entonces el promedio de A ≥ el promedio de B.

Todos los promedios de uso común son linealmente homogéneos , es decir, al multiplicar cada valor por el mismo factor de escala , el promedio se multiplica por ese mismo factor de escala.

La mayoría de los promedios [ b ] permanecen idénticos cuando se permuta la lista de elementos , es decir, el orden no importa.

Lista de posibles promedios

Aunque tal vez no sea un promedio, elτ{\displaystyle \tau }El cuantil (otra estadística descriptiva que generaliza la mediana) puede expresarse de manera similar como una solución al problema de optimización.

argininaincógnita∈R∑i=1nortemáximo((1−τ)(incógnitai−incógnita),τ(incógnita−incógnitai))=argininaincógnita∈R∑i=1norte(|incógnita−incógnitai|+(1−2τ)incógnita){\displaystyle {\underset {x\in \mathbb {R} }{\operatorname {argmin} }}\,\sum _{i=1}^{n}\max {\big (}(1-\tau )(x_{i}-x),\,\tau (x-x_{i}){\big )}={\underset {x\in \mathbb {R} }{\operatorname {argmin} }}\,\sum _{i=1}^{n}{\big (}|x-x_{i}|+(1-2\tau )\,x{\big )}},

cuyo objetivo es minimizar la pérdida total del valor absoluto inclinado (o pérdida de cuantil o pérdida de pinball ).

Otros promedios más sofisticados son: el trimmore sophistieano , el trimediano y la media normalizada , con sus generalizaciones. [ 16 ]

De forma más general, se puede crear una métrica promedio propia utilizando la media f generalizada :

y=F−1(1norte[F(incógnita1)+F(incógnita2)+⋯+F(incógnitanorte)]){\displaystyle y=f^{-1}\left({\frac {1}{n}}\left[f(x_{1})+f(x_{2})+\cdots +f(x_{n})\right]\right)}

donde f es cualquier función invertible. La media armónica es un ejemplo de esto usando f ( x ) = 1/ x , y la media geométrica es otro, usando f ( x ) = log x . 

Sin embargo , este método para generar medias no es lo suficientemente general como para abarcar todos los promedios. Un método más general [17] para definir un promedio toma cualquier función g(x₁ , x₂ , ... , xn ) de una lista de argumentos que sea continua , estrictamente creciente en cada argumento y simétrica (invariante bajo permutación de los argumentos). El promedio y es entonces el valor que, al reemplazar cada miembro de la lista, resulta en el mismo valor de la función: g ( y , y , ..., y) = g(x₁, x₂, ..., xn) . Esta definición más general aún captura la propiedad importante de todos los promedios de que el promedio de una lista de elementos idénticos es ese elemento mismo. La función g ( x₁ , x₂ , ... , xn ) = x₁ + x₂ + ... + xn proporciona la media aritmética . La función g ( x 1 , x 2 , ..., x n ) = x 1 x 2 ··· x n (donde los elementos de la lista son números positivos) proporciona la media geométrica. La función g ( x 1 , x 2 , ..., x n ) = ( x 1 −1 + x 2 −1 + ··· + x n −1 ) −1 ) (donde los elementos de la lista son números positivos) proporciona la media armónica. [ 17 ]   

Media móvil

Dada una serie temporal , como los precios diarios del mercado de valores o las temperaturas anuales, a menudo se busca crear una serie más suave. [ 18 ] Esto ayuda a mostrar tendencias subyacentes o quizás comportamientos periódicos. Una forma sencilla de hacerlo es mediante la media móvil : se elige un número n y se crea una nueva serie tomando la media aritmética de los primeros n valores, luego avanzando un lugar eliminando el valor más antiguo e introduciendo un nuevo valor en el otro extremo de la lista, y así sucesivamente. Esta es la forma más simple de media móvil. Las formas más complejas implican el uso de una media ponderada . La ponderación se puede usar para realzar o suprimir diversos comportamientos periódicos y existe un análisis extenso sobre qué ponderaciones usar en la literatura sobre filtrado . En el procesamiento digital de señales, el término "media móvil" se usa incluso cuando la suma de las ponderaciones no es 1.0 (por lo que la serie de salida es una versión escalada de las medias). [ 19 ] La razón de esto es que el analista generalmente solo está interesado en la tendencia o el comportamiento periódico.

Historia

Origen

La primera vez que se registró que la media aritmética se extendió de 2 a n casos para su uso en estimaciones fue en el siglo XVI. Desde finales del siglo XVI en adelante, se convirtió gradualmente en un método común para reducir los errores de medición en diversas áreas. [ 20 ] [ 21 ] En ese momento, los astrónomos querían conocer un valor real a partir de mediciones ruidosas, como la posición de un planeta o el diámetro de la luna. Utilizando la media de varios valores medidos, los científicos asumieron que los errores sumaban un número relativamente pequeño en comparación con el total de todos los valores medidos. El método de tomar la media para reducir los errores de observación se desarrolló principalmente en astronomía. [ 20 ] [ 22 ] Un posible precursor de la media aritmética es el rango medio (la media de los dos valores extremos), utilizado, por ejemplo, en la astronomía árabe de los siglos IX al XI, pero también en metalurgia y navegación. [ 21 ]

Sin embargo, existen varias referencias antiguas y vagas al uso de la media aritmética (que no son tan claras, pero que razonablemente podrían estar relacionadas con nuestra definición moderna de la media). En un texto del siglo IV, se escribió que (el texto entre corchetes es un posible texto faltante que podría aclarar el significado): [ 23 ]

En primer lugar, debemos disponer en una fila la secuencia de números desde la mónada hasta el nueve: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Luego debemos sumar la cantidad de todos ellos, y como la fila contiene nueve términos, debemos buscar la novena parte del total para ver si ya está presente de forma natural entre los números de la fila; y encontraremos que la propiedad de ser [una] novena [de la suma] pertenece únicamente a la media [aritmética] misma...

Existen referencias potenciales aún más antiguas. Hay registros que indican que, alrededor del año 700 a. C., los comerciantes y transportistas acordaron que los daños a la carga y al barco (su "contribución" en caso de daños por el mar) debían repartirse equitativamente entre ellos. [ 22 ] Esto podría haberse calculado utilizando el promedio, aunque no parece haber un registro directo del cálculo.

Etimología

La raíz se encuentra en árabe como عوار ʿawār , un defecto, o cualquier cosa defectuosa o dañada, incluyendo mercancía parcialmente estropeada; y عواري ʿawārī (también عوارة ʿawāra ) = "de o relacionado con ʿawār , un estado de daño parcial". [ c ] Dentro de las lenguas occidentales, la historia de la palabra comienza en el comercio marítimo medieval en el Mediterráneo. En los siglos XII y XIII, el latín genovés avaria significaba "daño, pérdida y gastos no normales que surgen en relación con un viaje marítimo mercante"; y el mismo significado para avaria se encuentra en Marsella en 1210, Barcelona en 1258 y Florencia a finales del siglo XIII. [ d ] El francés del siglo XV avarie tenía el mismo significado, y dio origen a los ingleses "averay" (1491) y "average" (1502) con el mismo significado. Hoy en día, el italiano avaria , el catalán avaria y el francés avarie aún conservan el significado principal de "daño". La transformación del significado en inglés comenzó en los contratos de derecho marítimo mercante occidental de finales de la Edad Media y principios de la Edad Moderna, según los cuales, si el barco se encontraba con una fuerte tormenta y parte de la mercancía tenía que ser arrojada por la borda para aligerarla y hacerla más segura, entonces todos los comerciantes cuyas mercancías estuvieran a bordo debían sufrir proporcionalmente (y no aquellos cuyas mercancías fueron arrojadas por la borda); y, en general, debía haber una distribución proporcional de cualquier avaria . A partir de ahí, la palabra fue adoptada por aseguradores, acreedores y comerciantes británicos para hablar de sus pérdidas como distribuidas entre toda su cartera de activos y con una proporción media. [ d ] [ 24 ]

Los daños marítimos pueden ser avería particular , que recae únicamente sobre el propietario del bien dañado, o avería gruesa , en cuyo caso el propietario puede reclamar una contribución proporcional de todas las partes involucradas en la operación marítima. El tipo de cálculos utilizados para ajustar la avería gruesa dio origen al uso del término «promedio» como sinónimo de «media aritmética».

Un segundo uso en inglés, documentado ya en 1674 y a veces escrito "averish", se refiere a los residuos y el segundo crecimiento de los cultivos de campo, que se consideraban aptos para el consumo de animales de tiro ("avers"). [ 25 ]

Existe un uso anterior (al menos del siglo XI), aunque no relacionado, de la palabra. Parece ser un antiguo término legal para referirse a la obligación de un arrendatario de prestarle trabajo diario a un sheriff, probablemente anglicizado a partir de "avera", que se encuentra en el Libro de Domesday inglés (1085).

Sin embargo, el Oxford English Dictionary afirma que las derivaciones del alemán hafen (refugio) y del árabe ʿawâr (pérdida, daño) han sido "completamente descartadas" y que la palabra tiene un origen romance. [ 26 ]

Los promedios como herramienta retórica

Debido a la naturaleza coloquial del término "promedio", este puede usarse para oscurecer el verdadero significado de los datos y sugerir respuestas distintas a las preguntas según el método de cálculo (con mayor frecuencia la media aritmética, la mediana o la moda). En su artículo "Framed for Lying: Statistics as In/Artistic Proof" (Acusados ​​de mentir: La estadística como prueba intrínseca/artística), Daniel Libertz, profesor de la Universidad de Pittsburgh , comenta que la información estadística se descarta con frecuencia en los argumentos retóricos por este motivo. [ 27 ] Sin embargo, debido a su poder persuasivo, los promedios y otros valores estadísticos no deben descartarse por completo, sino que deben usarse e interpretarse con cautela. Libertz nos invita a analizar críticamente no solo la información estadística, como los promedios, sino también el lenguaje utilizado para describir los datos y sus usos, afirmando: "Si las estadísticas dependen de la interpretación, los oradores deberían invitar a su audiencia a interpretar en lugar de insistir en una interpretación". [ 27 ] En muchos casos, se proporcionan datos y cálculos específicos para facilitar esta interpretación por parte de la audiencia.

Véase también

Notas

  1. ↑ Una excepción a esto es la moda ; por ejemplo, la moda de [1, 1, 2, 2, 2] es 2, pero la moda de [1, 1, 2, 3, 4] es 1. Además, la mayoría de los tipos de promedios son estrictamente monótonos, pero algunos, como la mediana , la media truncada y la media winsorizada , son solo débilmente monótonos y pueden permanecer iguales después de que algunos de los valores aumenten.
  2. ↑ Entre las excepciones a esto se incluyen los promedios ponderados (si los pesos se asignan por posición) y los promedios móviles (si se considera toda la secuencia o curva resultante). Los promedios móviles suelen calcularse utilizando promedios ponderados por posición.
  3. ↑ El árabe medievaltenía عور ʿawr que significaba "ciego de un ojo" y عوار ʿawār que significaba "cualquier defecto, o cualquier cosa defectuosa o dañada". Algunosdiccionarios de árabe medieval están en Baheth.info Archivado el 29-10-2013 en Wayback Machine , y algunas traducciones al inglés de lo que está en los diccionarios de árabe medieval están en el Léxico árabe-inglés de Lane , páginas 2193 y 2195. Los diccionarios medievales no incluyen la forma de la palabra عوارية ʿawārīa . ʿAwārīa puede formarse naturalmente en la gramática árabe para referirse a cosas que tienen ʿawār , pero en la práctica enlos textos árabes medievales ʿawārīa es una rareza o inexistente, mientras que las formas عواري ʿawārī y عوارة ʿawāra se usan con frecuencia para referirse a cosas que tienen ʿawār o daño; esto se puede ver en la colección de textos medievales que se puede buscar en AlWaraq.net (los enlaces a los libros se pueden hacer clic en el lado derecho).
  4. 1 2 El origen árabe de avaria fue reportado por primera vez por Reinhart Dozy en el siglo XIX. El resumen original de Dozy se encuentra en su libro Glossaire de 1869. Información resumida sobre los primeros registros de la palabra en italiano-latín, italiano, catalán y francés se encuentra en avarie @ CNRTL.fr Archivado el 06-01-2019 en Wayback Machine . El puerto marítimo de Génova es el lugar del registro más antiguo conocido en lenguas europeas, año 1157. Un conjunto de registros latinos medievales de avaria en Génova se encuentra en el léxico descargable Vocabolario Ligure , de Sergio Aprosio, año 2001, avaria en el Volumen 1 páginas 115-116. Muchos más registros en latín medieval en Génova se encuentran en StoriaPatriaGenova.it , generalmente en los plurales avariis y avarias . En el puerto de Marsella, en la primera mitad del siglo XIII, los contratos comerciales notariados contienen docenas de instancias del latín avariis (ablativo plural de avaria ), como se publicó en Blancard en 1884. Información sobre la palabra inglesa a lo largo de los siglos se encuentra en NED (1888) . Véase también la definición de "average" en los diccionarios ingleses publicados a principios del siglo XVIII, es decir, en el período justo antes de la gran transformación del significado: diccionario de Kersey-Phillips (1706) , diccionario de Blount (edición de 1707) , diccionario de Hatton (1712) , diccionario de Bailey (1726) , diccionario de Martin (1749) . Algunas complejidades que rodean la historia de la palabra inglesa se discuten en Hensleigh Wedgwood (1882, página 11) y Walter Skeat (1888, página 781) . Hoy existe consenso en que: (#1) el término inglés actual "average" desciende del italiano medieval avaria , del catalán avaria , y (#2) entre los latinos la palabra avaria surgió en el siglo XII como término del comercio marítimo mediterráneo, y (#3) no se encuentra ninguna raíz para avaria en latín, y (#4) un número considerable de palabras árabes entraron en el italiano, el catalán y el provenzal en los siglos XII y XIII como términos del comercio marítimo mediterráneo, y (#5) el árabe ʿawār | ʿawārī coincide fonéticamente con avaria , ya que la conversión de w a v era regular en latín e italiano, y -ia is a suffix in Italian, and the Western word's earliest records are in Italian-speaking locales (writing in Latin). And most commentators agree that (#6) the Arabic ʿawār | ʿawārī = "damage | relating to damage" is semantically a good match for avaria = "damage or damage expenses". A minority of commentators have been dubious about this on the grounds that the early records of Italian-Latin avaria have, in some cases, a meaning of "an expense" in a more general sense – see TLIO (in Italian). The majority view is that the meaning of "an expense" was an expansion from "damage and damage expense", and the chronological order of the meanings in the records supports this view, and the broad meaning "an expense" was never the most commonly used meaning. On the basis of the above points, the inferential step is made that the Latinate word came or probably came from the Arabic word.

References

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