Árbol con forma de estrella

Dos árboles estrellados finitos son isoespectrales , es decir, sus laplacianos de grafos tienen los mismos espectros, si y solo si son isomorfos . ^{[ 2 ]} El laplaciano de grafos siempre tiene un único valor propio igual o mayor que  4. ^{[ 3 ]}

El radio espectral de un árbol estrellado (el mayor valor propio de su matriz de adyacencia ) puede estar acotado en términos de su grado máximo.${\displaystyle \Delta }$Para árboles con forma de estrella${\displaystyle S(n_{1},\ldots ,n_{k})}$con${\displaystyle k\geq 4}$y${\displaystyle n_{1},\ldots ,n_{k}\geq 2}$, el radio espectral${\displaystyle \lambda _{1}}$satisface: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle {\frac {k-1}{\sqrt {k-2}}}<\lambda _{1}(S(n_{1},\ldots ,n_{k}))<{\frac {k}{\sqrt {k-1}}}}$

o equivalentemente, en términos del grado máximo${\displaystyle \Delta =k}$:

${\displaystyle {\frac {\Delta -1}{\sqrt {\Delta -2}}}<\lambda _{1}<{\frac {\Delta }{\sqrt {\Delta -1}}}}$

Estos límites muestran que el radio espectral de tales árboles estrellados es asintóticamente${\displaystyle {\sqrt {\Delta }}}$a medida que el grado máximo aumenta.

Para casos específicos: ^{[ 1 ]}

• Si${\displaystyle k=3}$y todas las ramas tienen longitud 1, entonces${\displaystyle \lambda _{1}={\sqrt {3}}}$
• Si${\displaystyle k=3}$y todas las ramas tienen una longitud de 2, entonces${\displaystyle \lambda _{1}=2}$
• Si${\displaystyle k\geq 4}$y todas las ramas tienen una longitud de 1 (es decir, el árbol es una estrella).${\displaystyle S_{k+1}}$), entonces${\displaystyle \lambda _{1}={\sqrt {k}}}$

Los autovalores de árboles estrellados se han caracterizado con respecto al intervalo${\displaystyle (-2,2)}$Un árbol con forma de estrella${\displaystyle S(n_{1},n_{2},n_{3})}$con tres ramas tiene todos sus autovalores en el intervalo abierto${\displaystyle (-2,2)}$si y solo si es isomorfo a uno de los siguientes:

• ${\displaystyle S(1,1,m)}$para cualquier entero positivo${\displaystyle m}$
• ${\displaystyle S(1,2,2)}$,${\displaystyle S(1,2,3)}$, o${\displaystyle S(1,2,4)}$

Para árboles con forma de estrella con cuatro o más ramas.${\displaystyle (k\geq 4)}$, al menos un valor propio se encuentra fuera del intervalo${\displaystyle (-2,2)}$. ^{[ 1 ]}

Los índices topológicos basados ​​en el grado de los vértices son descriptores moleculares definidos como${\displaystyle TI(G)=\sum _{1\leq i\leq j\leq n-1}m_{ij}(G)\varphi _{ij}}$, dónde${\displaystyle m_{ij}(G)}$es el número de aristas entre vértices de grado${\displaystyle i}$y título${\displaystyle j}$y los valores${\displaystyle \varphi _{ij}}$determinar el índice específico. Algunos ejemplos incluyen el índice de Randić , el primer índice de Zagreb , el índice armónico y el índice de conectividad átomo-enlace . ^{[ 4 ]}

Para un árbol con forma de estrella${\displaystyle X}$con${\displaystyle n}$vértices y grado central${\displaystyle k}$, cualquier índice de este tipo satisface${\displaystyle TI(X)=k_{1}P_{k}+kQ_{k}+(n-1)\varphi _{22}}$, dónde${\displaystyle k_{1}}$es el número de ramas de longitud 1,${\displaystyle P_{k}=\varphi _{1k}+\varphi _{22}-\varphi _{12}-\varphi _{2k}}$, y${\displaystyle Q_{k}=\varphi _{12}+\varphi _{2k}-2\varphi _{22}}$Esto demuestra que el valor del índice depende principalmente del número de ramas de longitud unitaria. ^{[ 4 ]}

Entre todos los árboles estrellados en${\displaystyle n}$vértices, los valores extremos se alcanzan típicamente mediante el grafo estrella.${\displaystyle S(1,1,\ldots ,1)}$con${\displaystyle n-1}$ramas y el árbol${\displaystyle S(2,2,n-5)}$. Para índices donde${\displaystyle P_{k}\leq 0}$a pesar de${\displaystyle k\geq 3}$(incluidos los índices de Randić, armónico, de conectividad de suma, geométrico-aritmético y de Zagreb aumentado), el grafo estrella alcanza el mínimo y${\displaystyle S(2,2,n-5)}$alcanza el máximo. Lo contrario ocurre con los índices donde${\displaystyle P_{k}\geq 0}$(incluidos los primeros índices de conectividad de Zagreb, Albertson y enlace átomo). ^{[ 4 ]}