Transformación estrellada

En matemáticas aplicadas , la transformada estrellada , o transformada estrella , es una variación en tiempo discreto de la transformada de Laplace , llamada así por el asterisco o "estrella" en la notación habitual de las señales muestreadas. La transformada es un operador de una función en tiempo continuo.${\displaystyle x(t)}$, que se transforma en una función${\displaystyle X^{*}(s)}$de la siguiente manera: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}X^{*}(s)={\mathcal {L}}[x(t)\cdot \delta _{T}(t)]={\mathcal {L}}[x^{*}(t)],\end{aligned}}}$

dónde${\displaystyle \delta _{T}(t)}$es una función peine de Dirac , con un período de tiempo T.

La transformada con asterisco es una abstracción matemática conveniente que representa la transformada de Laplace de una función muestreada por impulso.${\displaystyle x^{*}(t)}$, que es la salida de un muestreador ideal , cuya entrada es una función continua,${\displaystyle x(t)}$.

La transformada con asterisco es similar a la transformada Z , con un simple cambio de variables. La transformada con asterisco se define explícitamente en función del período de muestreo (T), mientras que la transformada Z se aplica a una señal discreta y es independiente de dicho período. Esto convierte a la transformada con asterisco en una versión desnormalizada de la transformada Z unilateral , ya que restablece la dependencia del parámetro de muestreo T. 

Desde${\displaystyle X^{*}(s)={\mathcal {L}}[x^{*}(t)]}$, dónde:

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{*}(t)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ x(t)\cdot \delta _{T}(t)&=x(t)\cdot \sum _{n=0}^{\infty }\delta (t-nT).\end{aligned}}}$

Entonces, según el teorema de convolución , la transformada marcada con asterisco es equivalente a la convolución compleja de${\displaystyle {\mathcal {L}}[x(t)]=X(s)}$y${\displaystyle {\mathcal {L}}[\delta _ {T}(t)]={\frac {1}{1-e^{-Ts}}}}$, por lo tanto: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle X^{*}(s)={\frac {1}{2\pi j}}\int _{cj\infty }^{c+j\infty }{X(p)\cdot {\frac {1}{1-e^{-T(sp)}}}\cdot dp}.}$

Esta integración lineal es equivalente a la integración en sentido positivo a lo largo de un contorno cerrado formado por dicha línea y un semicírculo infinito que encierra los polos de X(s) en el semiplano izquierdo de p . El resultado de dicha integración (según el teorema de los residuos ) sería:

${\displaystyle X^{*}(s)=\sum _{\lambda ={\text{polos de }}X(s)}\operatorname {Res} \limits _{p=\lambda }{\bigg [}X(p){\frac {1}{1-e^{-T(sp)}}}{\bigg ]}.}$

Alternativamente, la integración de línea antes mencionada es equivalente a la integración en sentido negativo a lo largo de un contorno cerrado formado por dicha línea y un semicírculo infinito que encierra los polos infinitos de${\displaystyle {\frac {1}{1-e^{-T(sp)}}}}$en el semiplano derecho de p . El resultado de dicha integración sería:

${\displaystyle X^{*}(s)={\frac {1}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }X\left(sj{\tfrac {2\pi }{T}}k\right)+{\frac {x(0)}{2}}.}$

Dada una transformada Z , X ( z ), la transformada correspondiente marcada con un asterisco es una simple sustitución :

${\displaystyle {\bigg .}X^{*}(s)=X(z){\bigg |}_{\displaystyle z=e^{sT}}}$ ^{[ 2 ]}

Esta sustitución restablece la dependencia de T.

Es intercambiable,

${\displaystyle {\bigg .}X(z)=X^{*}(s){\bigg |}_{\displaystyle e^{sT}=z}}$ 

${\displaystyle {\bigg .}X(z)=X^{*}(s){\bigg |}_{\displaystyle s={\frac {\ln(z)}{T}}}}$ 

Propiedad 1: ${\displaystyle X^{*}(s)}$es periódico en${\displaystyle s}$con período${\displaystyle j{\tfrac {2\pi }{T}}.}$

${\displaystyle X^{*}(s+j{\tfrac {2\pi }{T}}k)=X^{*}(s)}$

Propiedad 2:  Si${\displaystyle X(s)}$tiene un poste en${\displaystyle s=s_{1}}$, entonces${\displaystyle X^{*}(s)}$debe tener postes en${\displaystyle s=s_{1}+j{\tfrac {2\pi }{T}}k}$, dónde${\displaystyle \scriptstyle k=0,\pm 1,\pm 2,\ldots }$

• Bech, Michael M. "Teoría del control digital" (PDF) . Universidad AALBORG . Consultado el 5 de febrero de 2014 .
• Gopal, M. (marzo de 1989). Ingeniería de control digital . John Wiley & Sons. ISBN 0852263082.
• Phillips y Nagle, «Análisis y diseño de sistemas de control digital», 3.ª edición, Prentice Hall, 1995. ISBN 0-13-309832-X