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Complejo de bares

En matemáticas, el complejo de barras , también llamado resolución de barras , construcción de barras , resolución estándar o complejo estándar , es una forma de construir resol...

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En matemáticas, el complejo de barras , también llamado resolución de barras , construcción de barras , resolución estándar o complejo estándar , es una forma de construir resoluciones en álgebra homológica . Fue introducido por primera vez para el caso especial de álgebras sobre un anillo conmutativo por Samuel Eilenberg y Saunders Mac Lane [ 1 ] y Henri Cartan y Eilenberg [ 2 ] , y desde entonces se ha generalizado de muchas maneras. El nombre "complejo de barras" proviene del hecho de que Eilenberg y Mac Lane [ 1 ] utilizaron una barra vertical | como forma abreviada del producto tensorial.⊗{\displaystyle \otimes }en su notación para el complejo.

Definición

DejarR{\displaystyle R}ser un álgebra sobre un cuerpok{\displaystyle k}, dejarMETRO1{\displaystyle M_{1}}ser un derechoR{\displaystyle R}- módulo , y dejarMETRO2{\displaystyle M_{2}}ser una izquierdaR{\displaystyle R}-módulo. Entonces, se puede formar el complejo de barras.BarR⁡(METRO1,METRO2){\displaystyle \operatorname {Bar} _{R}(M_{1},M_{2})}dado por

⋯→METRO1⊗kR⊗kR⊗kMETRO2→METRO1⊗kR⊗kMETRO2→METRO1⊗kMETRO2→0,{\displaystyle \cdots \rightarrow M_{1}\otimes _{k}R\otimes _{k}R\otimes _{k}M_{2}\rightarrow M_{1}\otimes _{k}R\otimes _{k}M_{2}\rightarrow M_{1}\otimes _{k}M_{2}\rightarrow 0\,,}

con el diferencial

d(metro1⊗r1⊗⋯⊗rnorte⊗metro2)=metro1r1⊗⋯⊗rnorte⊗metro2+∑i=1norte−1(−1)imetro1⊗r1⊗⋯⊗riri+1⊗⋯⊗rnorte⊗metro2+(−1)nortemetro1⊗r1⊗⋯⊗rnortemetro2{\displaystyle {\begin{aligned}d(m_{1}\otimes r_{1}\otimes \cdots \otimes r_{n}\otimes m_{2})&=m_{1}r_{1}\otimes \cdots \otimes r_{n}\otimes m_{2}\\&+\sum _{i=1}^{n-1}(-1)^{i}m_{1}\otimes r_{1}\otimes \cdots \otimes r_{i}r_{i+1}\otimes \cdots \otimes r_{n}\otimes m_{2}+(-1)^{n}m_{1}\otimes r_{1}\otimes \cdots \otimes r_{n}m_{2}\end{aligned}}}

Resoluciones

El complejo de barras es útil porque proporciona una forma canónica de generar resoluciones ( libres ) de módulos sobre un anillo. Sin embargo, a menudo estas resoluciones son muy grandes y pueden resultar prohibitivamente difíciles de usar para realizar cálculos reales.

Resolución gratuita de un módulo

DejarMETRO{\displaystyle M}ser una izquierdaR{\displaystyle R}-módulo, conR{\displaystyle R}una unidadk{\displaystyle k}-álgebra. Luego, el complejo de barrasBarR⁡(R,METRO){\displaystyle \operatorname {Bar} _{R}(R,M)}da una resolución deMETRO{\displaystyle M}por izquierda libreR{\displaystyle R}-módulos. Explícitamente, el complejo es [ 3 ]

⋯→R⊗kR⊗kR⊗kMETRO→R⊗kR⊗kMETRO→R⊗kMETRO→0,{\displaystyle \cdots \rightarrow R\otimes _{k}R\otimes _{k}R\otimes _{k}M\rightarrow R\otimes _{k}R\otimes _{k}M\rightarrow R\otimes _{k}M\rightarrow 0\,,}

Este complejo está compuesto por espacios libres a la izquierda.R{\displaystyle R}-módulos, ya que cada término subsiguiente se obtiene tomando el término libre izquierdo.R{\displaystyle R}-módulo en el espacio vectorial subyacente del término anterior.

Para ver que esto da una resolución deMETRO{\displaystyle M}, consideremos el complejo modificado

⋯→R⊗kR⊗kR⊗kMETRO→R⊗kR⊗kMETRO→R⊗kMETRO→METRO→0,{\displaystyle \cdots \rightarrow R\otimes _{k}R\otimes _{k}R\otimes _{k}M\rightarrow R\otimes _{k}R\otimes _{k}M\rightarrow R\otimes _{k}M\rightarrow M\rightarrow 0\,,}

Entonces, el complejo de barras anterior es una resolución deMETRO{\displaystyle M}es equivalente a que este complejo extendido tenga homología trivial. Esto se puede demostrar construyendo una homotopía explícita.hnorte:R⊗knorte⊗kMETRO→R⊗k(norte+1)⊗kMETRO{\displaystyle h_{n}:R^{\otimes _{k}n}\otimes _{k}M\to R^{\otimes _{k}(n+1)}\otimes _{k}M}entre la identidad y 0. Esta homotopía viene dada por

hnorte(r1⊗⋯⊗rnorte⊗metro)=∑i=1norte−1(−1)i+1r1⊗⋯⊗ri−1⊗1⊗ri⊗⋯⊗rnorte⊗metro{\displaystyle {\begin{aligned}h_{n}(r_{1}\otimes \cdots \otimes r_{n}\otimes m)&=\sum _{i=1}^{n-1}(-1)^{i+1}r_{1}\otimes \cdots \otimes r_{i-1}\otimes 1\otimes r_{i}\otimes \cdots \otimes r_{n}\otimes m\end{aligned}}}

De manera similar, se puede construir una resolución de un derecho.R{\displaystyle R}-módulonorte{\displaystyle N}mediante módulos libres de derechos con el complejoBarR⁡(norte,R){\displaystyle \operatorname {Bar} _{R}(N,R)}.

Nótese que, en caso de que uno quiera resolverR{\displaystyle R}como un módulo sobre sí mismo, los dos complejos anteriores son iguales y, de hecho, dan una resolución deR{\displaystyle R}porR{\displaystyle R}-R{\displaystyle R}-bimódulos. Esto proporciona una resolución ligeramente menor deR{\displaystyle R}gratisR{\displaystyle R}-R{\displaystyle R}-bimódulos que la opción ingenuaBarRmi⁡(Rmi,METRO){\displaystyle \operatorname {Bar} _{R^{e}}(R^{e},M)}Aquí estamos utilizando la equivalencia entreR{\displaystyle R}-R{\displaystyle R}-bimódulos yRmi{\displaystyle R^{e}}-módulos, dondeRmi=R⊗Roperación{\displaystyle R^{e}=R\otimes R^{\operatorname {op} }}Consulte la sección de bimódulos para obtener más detalles.

El complejo de barras normalizado

El complejo estándar normalizado (o reducido) reemplazaA⊗A⊗⋯⊗A⊗A{\displaystyle A\otimes A\otimes \cdots \otimes A\otimes A}conA⊗(A/K)⊗⋯⊗(A/K)⊗A{\displaystyle A\otimes (A/K)\otimes \cdots \otimes (A/K)\otimes A}.

Véase también

Notas

  1. 1 2 Eilenberg, Samuel; Lane, Saunders Mac (julio de 1953). "Sobre los grupos H(Π, n), I" . The Annals of Mathematics . 58 (1): 55. doi : 10.2307/1969820 .
  2. ↑ Cartan, Henry; Eilenberg, Samuel (2016). Álgebra homológica (PMS-19) . Serie matemática de Princeton. Princeton, NJ: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-04991-5.
  3. ↑ Weibel 1994 , pág. 283.

Referencias