Mapa estable

En matemáticas , específicamente en geometría simpléctica y geometría algebraica , los espacios de módulos de aplicaciones estables generalizan los espacios de módulos de curvas , lo que permite el estudio de la geometría de las curvas con respecto a su posición en un espacio mayor.${\displaystyle X}$Esto se hace considerando formas de incrustar curvas en${\displaystyle X}$, a través de un tipo especial de función llamada mapa estable . La palabra "estable", como en el caso de curvas estables , significa que estos mapas tienen solo un número finito de automorfismos , lo cual es importante para la construcción de un "espacio de todas las curvas (de un cierto tipo) en${\displaystyle X}$" - es decir, un espacio de módulos .

Al "marcar" un cierto número de puntos en las curvas incrustadas y considerar dónde se ubican estos en el espacio ambiente.${\displaystyle X}$, podemos calcular los invariantes de Gromov-Witten , que encuentran aplicación en geometría enumerativa y teoría de cuerdas de tipo IIA . La idea de mapas estables fue propuesta por Maxim Kontsevich alrededor de 1992 y publicada en Kontsevich (1995) .

Existen dos puntos de vista contrapuestos: los de la geometría algebraica y la geometría simpléctica. Este artículo pretende tratar ambos; la palabra "curva" se refiere tanto a curvas algebraicas (complejas) como a superficies de Riemann y al espacio ambiente.${\displaystyle X}$puede tomarse como una variedad proyectiva suave o como una variedad simpléctica cerrada (equipada con una forma simpléctica)${\displaystyle \omega }$y una estructura casi compleja${\displaystyle J}$que cumpla una determinada "condición de compatibilidad" conocida como${\displaystyle \omega }$-domesticidad, definida a continuación).

A lo largo de este artículo${\displaystyle X}$denota un espacio ambiental fijo como se indicó anteriormente, y${\displaystyle g,n}$son números enteros no negativos.

Consideremos una curva nodal${\displaystyle C}$del género${\displaystyle g}$y con${\displaystyle n}$puntos lisos marcados y distintivos${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{n}\in C}$La curva${\displaystyle C}$Se requiere que esté conectado, pero puede estar compuesto por varios componentes irreducibles unidos entre sí en los nodos. Decimos que un punto es un punto especial si es un punto marcado o un nodo.

Un morfismo${\displaystyle f:C\to X}$es un mapa estable si cada componente irreducible de${\displaystyle C}$que se contrae por${\displaystyle f}$(es decir, cada componente en el que${\displaystyle f}$es constante) es en sí misma una curva estable. Esto equivale a decir que los componentes contraídos de género 0 deben tener 3 o más puntos especiales, y los componentes contraídos de género 1 deben tener al menos 1 punto especial. Normalmente escribimos${\displaystyle (C,p_{1},\ldots ,p_{n},f)}$para tal mapa. ^{[ 1 ]}

Decimos que dos mapas estables${\displaystyle (C,p_{1},\ldots ,p_{n},f)}$y${\displaystyle ({\tilde {C}},q_{1},\ldots ,q_{n},{\tilde {f}})}$son isomorfas si existe un isomorfismo de curvas${\displaystyle \tau :C\to {\tilde {C}}}$de tal manera que${\displaystyle \tau (p_{i})=q_{i}}$para todos los índices${\displaystyle i}$y tal que${\displaystyle {\tilde {f}}\circ \tau =f}$. La condición de estabilidad anterior es entonces equivalente a decir que el grupo de automorfismos de${\displaystyle f}$es finito.

Teniendo esto en cuenta, podemos construir espacios de módulos de aplicaciones estables. Sea${\displaystyle \beta \in H_{2}(X,\mathbb {Z} )}$sea ​​la clase de homología de una curva. El espacio de módulos (compacto) correspondiente${\displaystyle {\overline {M}}_{g,n}(X,\beta )}$consta de (clases de isomorfismo de) mapas estables${\displaystyle (C,p_{1}\ldots ,p_{n},f)}$de tal manera que${\displaystyle f_{*}[C]=\beta }$. El subconjunto abierto (posiblemente vacío)$${\displaystyle M_{g,n}(X,\beta )=\{(C,p_{1},\ldots ,p_{n},f)\in {\overline {M}}_{g,n}(X,\beta )\mid C{\text{ es una curva suave}}\}/{\cong }}$$También tiene una estructura de espacio de módulos, pero no es compacta .

Es importante destacar que el dominio de una aplicación estable no tiene por qué ser una curva estable. Sin embargo, se pueden contraer sus componentes inestables (de forma iterativa) para obtener una curva estable.

El caso simpléctico es más sutil y requiere cierta configuración que no era necesaria para el caso algebraico. Introducimos los conceptos de${\displaystyle \omega }$-mansedumbre y (perturbado)${\displaystyle J}$-curvas holomorfas:

Decimos que la estructura casi compleja${\displaystyle J}$en${\displaystyle X}$es${\displaystyle \omega }$-domesticar si, para cada distinto de cero${\displaystyle v\in TX}$, tenemos${\displaystyle \omega (v,Jv)>0}$. Asumimos a partir de ahora que${\displaystyle J}$tiene esta propiedad.

Dejar${\displaystyle C}$ser una superficie de Riemann con estructura compleja${\displaystyle j}$. Dejar${\displaystyle pr_{C},pr_{X}}$sean los mapas de proyección de${\displaystyle C\times X}$sobre cada uno de sus factores. Un mapa suave${\displaystyle f:C\to X}$se denomina perturbado${\displaystyle J}$-curva holomorfa si satisface$${\displaystyle {\frac {1}{2}}(df+J\circ df\circ j)=\nu ,}$$para algún mapa lineal conjugado${\displaystyle \nu :pr_{C}^{*}TC\to pr_{X}^{*}TX}$Esto se escribe a menudo como${\displaystyle {\bar {\partial }}_{J}(f)=\nu }$abreviado. Esta es una forma perturbada de las ecuaciones de Cauchy-Riemann; estableciendo${\displaystyle \nu =0}$proporciona las ecuaciones habituales de Cauchy-Riemann y la definición de una${\displaystyle J}$-curva holomorfa. ^{[ 2 ]}

Dejar${\displaystyle \beta \in H_{2}(X,\mathbb {Z} )}$Queremos definir un espacio de aplicaciones de superficies de Riemann en${\displaystyle X}$, de tal manera que la clase fundamental de la superficie se desplaza hacia adelante${\displaystyle \beta }$. Una forma de hacerlo es considerando el espacio ^{[ nota 1 ]}$${\displaystyle M_{g,n}(J,\nu ,\beta )=\{f:(C,p_{1},\ldots ,p_{n})\to X\mid {\bar {\partial }}_{J}(f)=\nu ,f_{*}[C]=\beta \}/{\cong }}$$dónde${\displaystyle (C,p_{1},\ldots ,p_{n})}$es un género estable (liso)${\displaystyle g}$Superficie de Riemann con${\displaystyle n}$puntos marcados. Esto puede considerarse el análogo simpléctico del espacio de módulos algebraicos (no compactos).${\displaystyle M_{g,n}(X,\beta )}$. Sin embargo, dado que se requiere que el dominio sea estable, debemos tener${\displaystyle 2g-2+n>0}$(de lo contrario, no existen curvas estables).

Decimos que${\displaystyle X}$es semipositivo si, para cada clase de homología${\displaystyle \beta \in H_{2}(X,\mathbb {Z} )}$que puede surgir como el impulso de la clase fundamental de la esfera${\displaystyle S^{2}}$bajo un mapa${\displaystyle S^{2}\to X}$, nunca lo hemos hecho$${\displaystyle \int _{\beta }\omega >0\,{\text{ and }}\,3-{\frac {1}{2}}\dim _{\mathbb {R} }X\leq \int _{\beta }c_{1}(TX)<0.}$$Cuando${\displaystyle X}$es semipositivo,${\displaystyle M_{g,n}(J,\nu ,\beta )}$tiene una compactificación natural, llamada compactificación de Gromov-Uhlenbeck. ^{[ 3 ]} Un mapa estable en el sentido de la geometría simpléctica puede considerarse entonces un elemento de este espacio compactificado.

• Para cualquier entero positivo${\displaystyle m}$, el espacio${\displaystyle {\overline {M}}_{0,0}(\mathbb {P} ^{m},1)}$consta de mapas de grado 1${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}\to \mathbb {P} ^{m}}$donde el dominio no tiene puntos marcados. Dicho mapa no contrae ningún componente del dominio (del cual solo hay uno), y por lo tanto es estable. Este espacio es el Grassmanniano.${\displaystyle \mathbf {Gr} (\mathbb {P} ^{1},\mathbb {P} ^{m})}$parametrizando todas las líneas en${\displaystyle \mathbb {P} ^{m}}$.
• Para cualquier entero no negativo${\displaystyle d}$, el espacio${\displaystyle {\overline {M}}_{0,0}(\mathbb {P} ^{2},d)}$es el espacio de grado${\displaystyle d}$curvas planas, y es de dimensión${\displaystyle 3d-1}$Espacios como este se pueden usar para responder preguntas en geometría enumerativa, tales como: ¿cuántos grados?${\displaystyle d}$Las curvas planas pasan a través de${\displaystyle 3d-1}$¿Puntos generales?

• El espacio${\displaystyle M_{g,n}(J,\nu ,\beta )}$es una variedad de dimensión (real)$${\displaystyle 2\int _{\beta }c_{1}(TX)+2({\frac {1}{2}}\dim _{\mathbb {R} }X-3)(1-g)+2n.}$$
• El espacio${\displaystyle {\overline {M}}_{g,n}(X,\beta )}$puede considerarse como el espacio de módulos gruesos de una pila de Deligne-Mumford; este espacio de módulos gruesos es un esquema proyectivo sobre${\displaystyle \mathbb {C} }$.
• En general,${\displaystyle {\overline {M}}_{g,n}(X,\beta )}$puede ser reducible, no reducido y de dimensión impura. Sin embargo, cuando${\displaystyle X}$es convexa , es decir, cuando${\displaystyle h^{1}(C,f^{*}TX)=0}$para cada género 0 mapa estable${\displaystyle (C,p_{1},\ldots ,p_{n},f)}$- el espacio${\displaystyle {\overline {M}}_{0,n}(X,\beta )}$se comporta bien y tiene dimensión (compleja)$${\displaystyle \int _{\beta }c_{1}(TX)+\dim _{\mathbb {C} }X-3+n.}$$
• Incluso cuando${\displaystyle {\overline {M}}_{g,n}(X,\beta )}$no tiene una dimensión bien definida, podemos definir su dimensión virtual como$${\displaystyle \operatorname {vdim} {\overline {M}}_{g,n}(X,\beta )=\int _{\beta }c_{1}(TX)+(\dim _{\mathbb {C} }X-3)(1-g)+n.}$$Esto coincide con la dimensión real de${\displaystyle M_{g,n}(J,\nu ,\beta )}$y, en el caso convexo, la dimensión de${\displaystyle {\overline {M}}_{0,n}(X,\beta )}$. La clase fundamental virtual de${\displaystyle {\overline {M}}:={\overline {M}}_{g,n}(X,\beta )}$, que es importante para la definición de invariantes algebraicos de Gromov-Witten, reside en el espacio vectorial de homología.${\displaystyle H_{\operatorname {vdim} {\overline {M}}}({\overline {M}},\mathbb {Q} )}$.
• Cuando${\displaystyle \beta =0}$, la imagen de un mapa estable es solo un punto en${\displaystyle X}$, así que tenemos${\displaystyle {\overline {M}}_{g,n}(X,0)\cong {\overline {M}}_{g,n}\times X}$a través del mapa${\displaystyle (C,p_{1},\ldots ,p_{n},f)\to (C,f(C))}$. En particular, este espacio no está vacío solo si${\displaystyle {\overline {M}}_{g,n}}$existe, es decir, si${\displaystyle 2g-2+n>0}$.
• Hay${\displaystyle n}$"mapas de evaluación"${\displaystyle \operatorname {ev} _{i}:{\overline {M}}_{g,n}(X,\beta )\to X}$envío${\displaystyle (C,p_{1},\ldots ,p_{n},f)}$a${\displaystyle f(p_{i})}$Estos también se utilizan en la definición de invariantes de Gromov-Witten, ya que permiten la retracción de clases de cohomología desde${\displaystyle X}$a${\displaystyle {\overline {M}}_{g,n}(X,\beta )}$.

No está inmediatamente claro que el espacio de módulos${\displaystyle {\overline {M}}_{g,n}(X,\beta )}$Es compacto, ya que pueden surgir varios problemas al considerar el límite de una familia en este espacio. Los posibles problemas son:

• Dos puntos marcados convergen en el mismo punto.
• Un punto marcado converge en un nodo.
• Dos nodos convergen en el mismo punto, creando un punto triple.
• El mapa se vuelve constante en un componente inestable del dominio.

Todo esto se puede solucionar mediante un proceso de dos pasos. El primer paso se conoce como "burbujeo" y resuelve los problemas causados ​​por marcas mal colocadas o puntos triples: adjuntamos una copia de${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$(una esfera), llamada burbuja, en la curva del dominio en el punto problemático. Si el problema involucra un nodo, esta burbuja separa los dos componentes que estaban unidos por ese nodo. Cualquier marca presente en el punto problemático se traslada a la burbuja; esto garantiza su estabilidad, por lo que podemos extender el mapa original a esta nueva curva definiéndola como constante en la burbuja. El segundo paso consiste en contraer cualquier componente inestable pero contraído de la curva del dominio.

El resultado aún puede no ser estable, pero el proceso puede aplicarse iterativamente, dando finalmente un nuevo mapa estable que puede tomarse como el "límite" de la familia en${\displaystyle {\overline {M}}_{g,n}(X,\beta )}$.

• Kontsevich, Maxim (1995). "Enumeración de curvas racionales mediante acciones de toro". Progr. Math . 129 : 335–368 . MR 1363062 .