Función Spt

La función spt (función de partes más pequeñas) es una función en teoría de números que cuenta la suma del número de partes más pequeñas en cada partición entera de un entero positivo. Está relacionada con la función de partición . ^{[ 1 ]}

Los primeros valores de spt( n ) son:

1, 3, 5, 10, 14, 26, 35, 57, 80, 119, 161, 238, 315, 440, 589 ... (secuencia A092269 en el OEIS )

Por ejemplo, hay cinco particiones de 4 (con las partes más pequeñas subrayadas):

4

3 + 1

2 + 2

2 + 1 + 1

1 + 1 + 1 + 1

Estas particiones tienen 1, 1, 2, 2 y 4 partes más pequeñas, respectivamente. Entonces spt(4) = 1 + 1 + 2 + 2 + 4 = 10.

Al igual que la función de partición, spt( n ) tiene una función generadora . Está dada por

${\displaystyle S(q)=\sum _ {n=1}^{\infty }\mathrm {spt} (n)q^{n}={\frac {1}{(q)_{\infty }}}\sum _ {n=1}^{\infty }{\frac {q^{n}\prod _{m=1}^{n-1}(1-q^{m})}{1-q^{n}}}}$

dónde${\displaystyle (q)_{\infty }=\prod _{n=1}^{\infty }(1-q^{n})}$.

La función${\displaystyle S(q)}$está relacionado con un formulario modular simulado .${\displaystyle E_{2}(z)}$denotemos la serie cuasimodular de Eisenstein de peso 2 y sea${\displaystyle \eta (z)}$denotemos la función eta de Dedekind . Entonces, para${\displaystyle q=e^{2\pi iz}}$, la función

${\displaystyle {\tilde {S}}(z):=q^{-1/24}S(q)-{\frac {1}{12}}{\frac {E_{2}(z)}{\eta (z)}}}$

es una forma modular simulada de peso 3/2 en el grupo modular completo${\displaystyle SL_{2}(\mathbb {Z} )}$con sistema multiplicador${\displaystyle \chi _{\eta }^{-1}}$, dónde${\displaystyle \chi _{\eta }}$es el sistema multiplicador para${\displaystyle \eta (z)}$.

Aunque no se conoce una fórmula cerrada para spt( n ), existen congruencias de tipo Ramanujan, entre ellas:

${\displaystyle \mathrm {spt} (5n+4)\equiv 0\mod (5)}$

${\displaystyle \mathrm {spt} (7n+5)\equiv 0\mod (7)}$

${\displaystyle \mathrm {spt} (13n+6)\equiv 0\mod (13).}$