Diseño esférico

Un diseño esférico , parte de la teoría del diseño combinatorio en matemáticas , es un conjunto finito de N puntos en la esfera unitaria d-dimensional S d tal ^que el valor promedio de cualquier polinomio f de grado t o menor en el conjunto es igual al valor promedio de f en toda la esfera (es decir, la integral de f sobre S ^d dividida por el área o medida de S ^d ). Dicho conjunto se suele llamar diseño t esférico para indicar el valor de t , que es un parámetro fundamental. El concepto de diseño esférico se debe a Delsarte, Goethals y Seidel, ^[ 1 ^] aunque estos objetos se entendían anteriormente como ejemplos particulares de fórmulas ^de cuadratura .

Los diseños esféricos pueden ser valiosos en la teoría de la aproximación , en la estadística para el diseño experimental , en la combinatoria y en la geometría . El principal problema es encontrar ejemplos, dados d y t , que no sean demasiado grandes; sin embargo, tales ejemplos pueden ser difíciles de obtener. Los diseños t esféricos también se han apropiado recientemente en la mecánica cuántica en forma de diseños t cuánticos con diversas aplicaciones a la teoría de la información cuántica y la computación cuántica .

La existencia y estructura de diseños esféricos en el círculo fueron estudiadas en profundidad por Hong. ^{[ 2 ]} Poco después, Seymour y Zaslavsky ^{[ 3 ]} demostraron que tales diseños existen para todos los tamaños suficientemente grandes; es decir, dados enteros positivos d y t , existe un número N ( d , t ) tal que para cada N ≥ N ( d , t ) existe un t -diseño esférico de N puntos en dimensión d . Sin embargo, su demostración no dio ninguna idea de cuán grande es N ( d , t ).

Mimura halló de forma constructiva condiciones, en términos del número de puntos y la dimensión, que caracterizan con precisión la existencia de diseños esféricos de 2 dimensiones. Las colecciones de líneas equiangulares de tamaño máximo (hasta la identificación de líneas como puntos antipodales en la esfera) son ejemplos de diseños esféricos de 5 dimensiones de tamaño mínimo. Existen numerosos diseños esféricos pequeños y esporádicos; muchos de ellos están relacionados con acciones de grupos finitos en la esfera.

En 2013, Bondarenko, Radchenko y Viazovska ^{[ 4 ]} obtuvieron la cota superior asintótica. ${\displaystyle N(d,t)<C_{d}t^{d}}$para todos los enteros positivos d y t . Esto coincide asintóticamente con el límite inferior dado originalmente por Delsarte, Goethals y Seidel. El valor de C _d es actualmente desconocido, mientras que los valores exactos de ${\displaystyle N(d,t)}$Se conocen en relativamente pocos casos.

• Problema de Thomson

• En los sitios web de Neil Sloane y Robert Womersley se pueden encontrar diseños t esféricos precalculados para diferentes valores de N y t .

• Bondarenko, Andriy; Radchenko, Danylo; Viazovska, Maryna (2013), "Límites asintóticos óptimos para diseños esféricos", Annals of Mathematics , Segunda Serie, 178 (2): 443– 452, arXiv : 1009.4407 , doi : 10.4007/annals.2013.178.2.2 , MR 3071504 , S2CID 2490453  .
• Mimura, Yoshio (1990), "Una construcción de diseño esférico 2", Gráficos y combinatoria , 6 (4): 369– 372, doi : 10.1007/BF01787704 , S2CID 28942727 .
• Delsarte, P.; Goethals, JM; Seidel, JJ (1977), "Códigos y diseños esféricos", Geometriae Dedicata , 6 (3): 363– 388, doi : 10.1007/BF03187604 , MR 0485471 , S2CID 125833142  Reimpreso en Seidel, JJ (1991), Geometría y combinatoria: Obras selectas de JJ Seidel , Boston, MA: Academic Press, Inc., ISBN 0-12-189420-7, MR 1116326 .
• Hong, Yiming (1982), "Sobre los diseños t esféricos en R ² ", European Journal of Combinatorics , 3 (3): 255– 258, doi : 10.1016/S0195-6698(82)80036-X , MR 0679209 .
• Seymour, PD ; Zaslavsky, Thomas (1984), "Conjuntos de promedio: una generalización de los valores medios y los diseños esféricos", Advances in Mathematics , 52 (3): 213–240 , doi : 10.1016/0001-8708(84)90022-7 , MR 0744857 .