Líneas equiangulares

En geometría , un conjunto de líneas se denomina equiangular si todas las líneas se intersecan en un único punto y cada par de líneas forma el mismo ángulo.

Calcular el número máximo de líneas equiangulares en el espacio euclidiano n -dimensional es un problema difícil y, en general, sin resolver, aunque se conocen límites. El número máximo de líneas equiangulares en el espacio euclidiano 2-dimensional es 3: podemos tomar las líneas que pasan por vértices opuestos de un hexágono regular, cada una formando un ángulo de 120 grados con las otras dos. El máximo en 3 dimensiones es 6: podemos tomar las líneas que pasan por vértices opuestos de un icosaedro . Se sabe que el número máximo en cualquier dimensión${\displaystyle n}$es menor o igual que${\estilo de texto {\binom {n+1}{2}}}$. ^{[ 1 ]} El máximo en dimensiones de 1 a 16 se enumera en la Enciclopedia en línea de secuencias de enteros de la siguiente manera:

1, 3, 6, 6, 10, 16, 28, 28, 28, 28, 28, 28, 28, 28, 36, 40, ... (secuencia A002853 en el OEIS ) .

En particular, el número máximo de líneas equiangulares en 7 dimensiones es 28. Podemos obtener estas líneas de la siguiente manera. Tomemos el vector (−3,−3,1,1,1,1,1,1) en${\displaystyle \mathbb {R} ^{8}}$y forman los 28 vectores obtenidos al permutar sus componentes. El producto escalar de dos de estos vectores es igual a 8 si ambos tienen una componente de -3 en el mismo lugar, y es igual a -8 en caso contrario. Por lo tanto, las líneas que pasan por el origen y que contienen estos vectores son equiangulares. Además, los 28 vectores son ortogonales al vector (1,1,1,1,1,1,1,1) en${\displaystyle \mathbb {R} ^{8}}$, por lo que se encuentran en un espacio de 7 dimensiones. De hecho, estos 28 vectores y sus negativos son, salvo rotación y dilatación, los 56 vértices del politopo 3 ₂₁ . En otras palabras, son los vectores de peso de la representación de 56 dimensiones del grupo de Lie E ₇ .

Las líneas equiangulares son equivalentes a los grafos de dos elementos . Dado un conjunto de líneas equiangulares, sea c el coseno del ángulo común. Suponemos que el ángulo no es de 90°, ya que ese caso es trivial (es decir, no es interesante, porque las líneas son simplemente ejes de coordenadas); por lo tanto, c es distinto de cero. Podemos mover las líneas de modo que todas pasen por el origen de coordenadas. Elegimos un vector unitario en cada línea. Formamos la matriz M de productos internos . Esta matriz tiene 1 en la diagonal y ±c en el resto, y es simétrica. Restando la matriz identidad I y dividiendo por c , obtenemos una matriz simétrica con diagonal cero y ±1 fuera de la diagonal. Esta es la matriz de adyacencia de Seidel de un grafo de dos elementos. Recíprocamente, todo grafo de dos elementos puede representarse como un conjunto de líneas equiangulares. ^{[ 2 ]}

El problema de determinar el número máximo de líneas equiangulares con un ángulo fijo en dimensiones suficientemente altas fue resuelto por Jiang, Tidor, Yao, Zhang y Zhao. ^{[ 3 ]} La respuesta se expresa en términos de teoría espectral de grafos. Sea${\ Displaystyle N _ {\ alpha} (d)}$denota el número máximo de líneas que pasan por el origen en${\displaystyle d}$dimensiones con ángulo común por pares${\displaystyle \arccos \alpha }$. Dejar${\displaystyle k}$denota el número mínimo (si existe) de vértices en un grafo cuya matriz de adyacencia tiene radio espectral exactamente${\displaystyle (1-\alpha )/(2\alpha )}$. Si${\displaystyle k}$es finito, entonces${\displaystyle N_{\alpha }(d)=\lfloor k(d-1)/(k-1)\rfloor }$para todas las dimensiones suficientemente grandes${\displaystyle d}$(aquí el "suficientemente grande" puede depender de${\displaystyle \alpha }$). Si no hay${\displaystyle k}$existe, entonces${\displaystyle N_{\alpha }(d)=d+o(d)}$.

En un espacio vectorial complejo equipado con un producto interno , podemos definir el ángulo entre vectores unitarios.${\displaystyle {\hat {a}}}$y${\displaystyle {\hat {b}}}$por la relación${\displaystyle \cos(\theta )=|({\hat {a}},{\hat {b}})|}$Se sabe que existe un límite superior para el número de líneas equiangulares complejas en cualquier dimensión.${\displaystyle n}$es${\displaystyle n^{2}}$A diferencia del caso real descrito anteriormente, es posible que este límite se alcance en todas las dimensiones.${\displaystyle n}$La conjetura de que esto es cierto fue propuesta por Zauner ^{[ 4 ]} y verificada analítica o numéricamente hasta${\displaystyle n=67}$por Scott y Grassl. ^{[ 5 ]} Un conjunto máximo de líneas equiangulares complejas también se conoce como SIC o SIC-POVM .

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