Función de covarianza

En teoría de probabilidad y estadística , la función de covarianza describe cuánto cambian juntas dos variables aleatorias (su covarianza ) con una separación espacial o temporal variable. Para un campo aleatorio o un proceso estocástico Z ( x ) en un dominio D , una función de covarianza C ( x ,  y ) da la covarianza de los valores del campo aleatorio en las dos ubicaciones x e y :

$${\displaystyle C(x,y):=\operatorname {cov} (Z(x),Z(y))=\mathbb {E} {\Big [}{\big (}Z(x)-\mathbb {E} [Z(x)]{\big )}{\big (}Z(y)-\mathbb {E} [Z(y)]{\big )}{\Big ]}.\,}$$

La misma C ( x ,  y ) se denomina función de autocovarianza en dos casos: en series de tiempo (para denotar exactamente el mismo concepto excepto que x e y se refieren a ubicaciones en el tiempo en lugar de en el espacio), y en campos aleatorios multivariados (para referirse a la covarianza de una variable consigo misma, en oposición a la covarianza cruzada entre dos variables diferentes en diferentes ubicaciones, Cov( Z ( x ₁ ),  Y ( x ₂ ))). ^[1]

Para las ubicaciones x ₁ , x ₂ , ..., x _N ∈ D la varianza de cada combinación lineal

${\displaystyle X=\sum _{i=1}^{N}w_{i}Z(x_{i})}$

se puede calcular como

${\displaystyle \operatorname {var} (X)=\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}w_{i}C(x_{i},x_{j})w_{j}.}$

Una función es una función de covarianza válida si y solo si ^[2] esta varianza no es negativa para todas las opciones posibles de N y pesos w ₁ , ...,  w _N . Una función con esta propiedad se denomina semidefinida positiva .

En el caso de un campo aleatorio débilmente estacionario , donde

${\displaystyle C(x_{i},x_{j})=C(x_{i}+h,x_{j}+h)\,}$

Para cualquier retraso , la función de covarianza se puede representar mediante una función de un parámetro.

${\displaystyle C_{s}(h)=C(0,h)=C(x,x+h)\,}$

que se denomina covariograma y también función de covarianza . Implícitamente, C ( x _i ,  x _j ) se puede calcular a partir de C _s ( h ) mediante:

${\displaystyle C(x,y)=C_{s}(yx).\,}$

La certeza positiva de esta versión de argumento único de la función de covarianza se puede comprobar mediante el teorema de Bochner . ^[2]

Para una varianza dada , una función de covarianza paramétrica estacionaria simple es la "función de covarianza exponencial". ${\displaystyle \sigma ^{2}}$

${\displaystyle C(d)=\sigma ^{2}\exp(-d/V)}$

donde V es un parámetro de escala (longitud de correlación) y d  =  d ( x , y ) es la distancia entre dos puntos. Las trayectorias de muestra de un proceso gaussiano con la función de covarianza exponencial no son suaves. La función de covarianza "exponencial al cuadrado" (o " gaussiana "):

${\displaystyle C(d)=\sigma ^{2}\exp(-(d/V)^{2})}$

es una función de covarianza estacionaria con trayectorias de muestra suaves.

La función de covarianza Matérn y la función de covarianza cuadrática racional son dos familias paramétricas de funciones de covarianza estacionarias. La familia Matérn incluye las funciones de covarianza exponencial y exponencial al cuadrado como casos especiales.

• Función de autocorrelación
• Función de correlación
• Matriz de covarianza
• Operador de covarianza  – Operador en teoría de probabilidad
• Kriging
• Núcleo positivo definido
• Campo aleatorio
• Proceso estocástico
• Variograma