Modelo de contorno activo

La energía interna de la serpiente se compone de la continuidad del contorno.${\displaystyle E_{\text{cont}}}$y la suavidad del contorno${\displaystyle E_{\text{curva}}}$.

${\displaystyle E_{\text{interno}}=E_{\text{cont}}+E_{\text{curv}}}$^{[ 3 ]}

Esto se puede ampliar como

${\displaystyle E_{\text{internal}}={\frac {1}{2}}(\alpha \,\!(s)\left|\mathbf {v} _{s}(s)\right\vert ^{2})+{\frac {1}{2}}(\beta \,\!(s)\left|\mathbf {v} _{ss}(s)\right\vert ^{2})={\frac {1}{2}}{\bigg (}\alpha \,\!(s)\left\|{\frac {d{\bar {v}}}{ds}}(s)\right\Vert ^{2}+\beta \,\!(s)\left\|{\frac {d^{2}{\bar {v}}}{ds^{2}}}(s)\right\Vert ^{2}{\bigg )}}$

dónde${\displaystyle \alpha (s)}$y${\displaystyle \beta (s)}$son pesos definidos por el usuario; estos controlan la sensibilidad de la función de energía interna a la cantidad de estiramiento en la serpiente y a la cantidad de curvatura en la serpiente, respectivamente, y por lo tanto controlan la cantidad de restricciones en la forma de la serpiente.

En la práctica, un gran peso${\displaystyle \alpha (s)}$para el término de continuidad penaliza los cambios en las distancias entre puntos en el contorno. Un peso grande${\displaystyle \beta (s)}$El término de suavidad penaliza las oscilaciones en el contorno y hará que este actúe como una placa delgada.

La energía en la imagen depende en cierta medida de sus características. Este es uno de los puntos de modificación más comunes en los métodos derivados. Las características de las imágenes, así como las imágenes mismas, pueden procesarse de diversas maneras.

Para una imagen${\displaystyle I(x,y)}$, líneas, bordes y terminaciones presentes en la imagen, la formulación general de la energía debida a la imagen es

${\displaystyle E_{\text{imagen}}=w_{\text{línea}}E_{\text{línea}}+w_{\text{borde}}E_{\text{borde}}+w_{\text{término}}E_{\text{término}},}$

dónde${\displaystyle w_{\text{línea}}}$,${\displaystyle w_{\text{borde}}}$,${\displaystyle w_{\text{término}}}$son pesos de estas características destacadas. Pesos más altos indican que la característica destacada tendrá una mayor contribución a la fuerza de la imagen.

Algunos sistemas, incluida la implementación original de serpientes, permitían la interacción del usuario para guiar a las serpientes, no solo en su colocación inicial sino también en términos de energía. Dicha restricción de energía${\displaystyle E_{con}}$ Se puede utilizar para guiar interactivamente a las serpientes hacia o lejos de elementos específicos.

La introducción del tiempo discreto en el algoritmo puede introducir actualizaciones que hacen que la serpiente se mueva más allá de los mínimos a los que se siente atraída; esto, a su vez, puede causar oscilaciones alrededor de los mínimos o llevar a que se encuentre un mínimo diferente.

Esto se puede evitar ajustando el paso de tiempo de manera que su tamaño nunca sea mayor que un píxel debido a las fuerzas de la imagen. Sin embargo, en regiones de baja energía, las energías internas dominarán la actualización.

Alternativamente, las fuerzas de la imagen se pueden normalizar para cada paso de manera que las fuerzas de la imagen solo actualicen la serpiente en un píxel. Esto se puede formular como

${\displaystyle F_{\text{image}}=-k{\frac {\nabla E_{\text{image}}}{\|\nabla E_{\text{image}}\|}}}$

dónde${\displaystyle \tau k}$está cerca del valor del tamaño del píxel. Esto evita el problema de las energías internas dominantes que surgen al ajustar el paso de tiempo. ^{[ 5 ]}

Las energías en una imagen continua pueden tener cruces por cero que no existen como píxeles en la imagen. En este caso, un punto en la serpiente oscilaría entre los dos píxeles vecinos a este cruce por cero. Esta oscilación se puede evitar utilizando interpolación entre píxeles en lugar de la interpolación del vecino más cercano. ^{[ 5 ]}

El modelo de serpiente de flujo vectorial de gradiente (GVF) ^{[ 6 ]} aborda dos problemas relacionados con las serpientes:

• Rendimiento de convergencia deficiente para límites cóncavos
• Rendimiento de convergencia deficiente cuando la serpiente se inicializa lejos del mínimo.

En 2D, el campo vectorial GVF${\displaystyle F_{\text{GVF}}}$minimiza la energía funcional

${\displaystyle E_{\text{GVF}}=\iint \mu (u_{x}^{2}+u_{y}^{2}+v_{x}^{2}+v_{y}^{2})+|\nabla f|^{2}|\mathbf {v} -\nabla f|^{2}\,dx\,dy}$

dónde${\displaystyle \mu }$es un término de suavizado controlable. Esto se puede resolver resolviendo las ecuaciones de Euler.

${\displaystyle \mu \,\nabla ^{2}u-{\Bigg (}u-{\frac {\partial }{\partial x}}F_{\text{ext}}{\Bigg )}{\Bigg (}{\frac {\partial }{\partial x}}F_{\text{ext}}(x,y)^{2}+{\frac {\partial }{\partial y}}F_{\text{ext}}(x,y)^{2}{\Bigg )}=0}$

${\displaystyle \mu \,\nabla ^{2}v-{\Bigg (}v-{\frac {\partial }{\partial y}}F_{\text{ext}}{\Bigg )}{\Bigg (}{\frac {\partial }{\partial x}}F_{\text{ext}}(x,y)^{2}+{\frac {\partial }{\partial y}}F_{\text{ext}}(x,y)^{2}{\Bigg )}=0}$

Esto se puede resolver mediante un proceso iterativo que conduzca a un valor de estado estacionario.

${\displaystyle u_{i+1}=u_{i}+\mu \,\nabla ^{2}u_{i}-{\Bigg (}u_{i}-{\frac {\partial }{\partial x}}F_{\text{ext}}{\Bigg )}{\Bigg (}{\frac {\partial }{\partial x}}F_{\text{ext}}(x,y)^{2}+{\frac {\partial }{\partial y}}F_{\text{ext}}(x,y)^{2}{\Bigg )}}$

${\displaystyle v_{i+1}=v_{i}+\mu \,\nabla ^{2}v_{i}-{\Bigg (}v_{i}-{\frac {\partial }{\partial y}}F_{\text{ext}}{\Bigg )}{\Bigg (}{\frac {\partial }{\partial x}}F_{\text{ext}}(x,y)^{2}+{\frac {\partial }{\partial y}}F_{\text{ext}}(x,y)^{2}{\Bigg )}}$

Este resultado reemplaza la fuerza externa predeterminada.

${\displaystyle F_{\text{ext}}^{*}=F_{\text{GVF}}}$

El principal problema al usar GVF es el término de suavizado.${\displaystyle \mu }$provoca el redondeo de los bordes del contorno. Reducir el valor de${\displaystyle \mu }$Reduce el redondeo, pero disminuye la cantidad de suavizado.

El modelo de globo ^{[ 5 ]} aborda estos problemas con el modelo de contorno activo predeterminado:

• La serpiente no se siente atraída por los bordes lejanos.
• La serpiente se encogerá hacia adentro si no actúan sobre ella fuerzas visuales sustanciales.
• Una serpiente más grande que el contorno mínimo acabará encogiéndose hasta alcanzarlo, pero una serpiente más pequeña que el contorno mínimo no encontrará el mínimo y, en cambio, seguirá encogiéndose.

El modelo del globo introduce un término de inflación en las fuerzas que actúan sobre la serpiente.

${\displaystyle F_{\text{inflation}}=k_{1}{\vec {n}}(s)}$

dónde${\displaystyle {\vec {n}}(s)}$es el vector unitario normal de la curva en${\displaystyle v(s)}$y${\displaystyle k_{1}}$es la magnitud de la fuerza.${\displaystyle k_{1}}$debe tener la misma magnitud que el factor de normalización de la imagen.${\displaystyle k}$y ser de menor valor que${\displaystyle k}$para permitir que las fuerzas en los bordes de la imagen superen la fuerza de inflación.

Del uso del modelo del globo surgen tres problemas:

• En lugar de encogerse, la serpiente se expande hacia los mínimos y no encontrará contornos de mínimos más pequeños que ella.
• La fuerza hacia afuera provoca que el contorno sea ligeramente mayor que el mínimo real. Esto se puede solucionar disminuyendo la fuerza del globo una vez que se haya encontrado una solución estable.
• La fuerza de inflación puede superar las fuerzas de los bordes débiles, lo que amplifica el problema de que las serpientes ignoren las características más débiles de una imagen.

El modelo de serpiente de difusión ^{[ 7 ]} aborda la sensibilidad de las serpientes al ruido, el desorden y la oclusión. Implementa una modificación del funcional de Mumford-Shah y su límite de caricatura, e incorpora conocimiento estadístico de la forma. El funcional de energía de imagen predeterminado${\displaystyle E_{\text{image}}}$es reemplazado por

${\displaystyle E_{\text{image}}^{*}=E_{i}+\alpha E_{c}}$

dónde${\displaystyle E_{i}}$Se basa en una función de Mumford-Shah modificada.

${\displaystyle E[J,B]={\frac {1}{2}}\int _{D}(I({\vec {x}})-J({\vec {x}}))^{2}\,d{\vec {x}}+\lambda {\frac {1}{2}}\int _{D/B}{\vec {\nabla }}J({\vec {x}})\cdot {\vec {\nabla }}J({\vec {x}})\,d{\vec {x}}+\nu \int _{0}^{1}{\Bigg (}{\frac {d}{ds}}B(s){\Bigg )}^{2}\,ds}$

dónde${\displaystyle J({\vec {x}})}$es el modelo suave por partes de la imagen${\displaystyle I({\vec {x}})}$del dominio${\displaystyle D}$. Límites${\displaystyle B(s)}$se definen como

${\displaystyle B(s)=\sum _{n=1}^{N}{\vec {p}}_{n}B_{n}(s)}$

dónde${\displaystyle B_{n}(s)}$son funciones base B-spline cuadráticas y${\displaystyle {\vec {p}}_{n}}$son los puntos de control de las splines. El límite de caricatura modificado se obtiene como${\displaystyle \lambda \to \infty }$y es una configuración válida de${\displaystyle E_{i}}$.

El funcional${\displaystyle E_{c}}$Se basa en el entrenamiento a partir de imágenes binarias de varios contornos y su intensidad se controla mediante el parámetro${\displaystyle \alpha }$Para una distribución gaussiana de vectores de puntos de control${\displaystyle {\vec {z}}}$con vector de punto de control medio${\displaystyle {\vec {z}}_{0}}$y matriz de covarianza${\displaystyle \Sigma }$, la energía cuadrática que corresponde a la probabilidad gaussiana es

${\displaystyle E_{c}({\vec {z}})={\frac {1}{2}}({\vec {z}}-{\vec {z}}_{0})^{t}\Sigma ^{*}({\vec {z}}-{\vec {z}}_{0})}$

La eficacia de este método reside en la calidad de los datos de entrenamiento, así como en el ajuste de la función de Mumford-Shah modificada. Cada serpiente requerirá diferentes conjuntos de datos de entrenamiento y ajustes.

El contorno activo geométrico, o contorno activo geodésico (GAC) ^{[ 8 ]} o contornos activos conformes ^{[ 9 ],} emplea ideas de la evolución de acortamiento de curvas euclidianas . Los contornos se dividen y se fusionan según la detección de objetos en la imagen. Estos modelos se inspiran en gran medida en los conjuntos de nivel y se han utilizado ampliamente en el procesamiento de imágenes médicas .

Por ejemplo, la ecuación de evolución de la curva de descenso de gradiente de GAC es ^{[ 8 ].}

${\displaystyle {\frac {\partial C}{\partial t}}=g(I)(c+\kappa ){\vec {N}}-\langle \,\nabla g,{\vec {N}}\rangle {\vec {N}}}$

dónde${\displaystyle g(I)}$es una función de parada, c es un multiplicador de Lagrange,${\displaystyle \kappa }$es la curvatura, y${\displaystyle {\vec {N}}}$es la unidad normal hacia adentro. Esta forma particular de ecuación de evolución de curva depende únicamente de la velocidad en la dirección normal. Por lo tanto, puede reescribirse de forma equivalente en una forma euleriana insertando la función de conjunto de nivel.${\displaystyle \Phi }$en él de la siguiente manera

${\displaystyle {\frac {\partial \Phi }{\partial t}}=|\nabla \Phi |\operatorname {div} {\Bigg (}g(I){\frac {\nabla \Phi }{|\nabla \Phi |}}{\Bigg )}+cg(I)|\nabla \Phi |}$

Esta reformulación de conjuntos de nivel, sencilla pero potente, permite que los contornos activos gestionen los cambios topológicos durante la evolución de la curva de descenso de gradiente. Ha impulsado un progreso extraordinario en campos relacionados, y el uso de métodos numéricos para resolver la reformulación de conjuntos de nivel se conoce actualmente como el método de conjuntos de nivel . Si bien este método se ha convertido en una herramienta muy popular para la implementación de contornos activos, Wang y Chan argumentaron que no todas las ecuaciones de evolución de curvas deberían resolverse directamente con él. ^{[ 10 ]}

Los avances más recientes en contornos activos abordan el modelado de propiedades regionales, la incorporación de priors de forma flexibles y la segmentación totalmente automática, etc.

Lankton y Allen Tannenbaum formularon modelos estadísticos que combinan características locales y globales . ^{[ 11 ]}

• Ejemplos prácticos de diferentes serpientes desarrolladas por Xu y Prince
• Herramienta básica para jugar con serpientes (modelos de contorno activo) de Tim Cootes, Universidad de Manchester.
• Implementación en Matlab de una serpiente 2D y 3D que incluye GVF y fuerza de globo.
• Demostración del problema de la serpiente en Matlab por Christoph Bregler y Malcolm Slaney , Interval Research Corporation.
• Una demostración usando Java
• Interfaz gráfica de usuario (GUI) para la plataforma de pruebas e implementación de Active Contours, desarrollada por Nikolay S. y Alex Blekhman, que implementa "Active Contours without Edges".
• Segmentación de contornos activos por Shawn Lankton implementando "Contornos activos sin bordes".
• Código de contorno activo geométrico archivado el 17/02/2019 en Wayback Machine por Jarno Ralli.
• Serpientes morfológicas