Modelo de distribución de puntos

El modelo de distribución de puntos es un modelo para representar la geometría media de una forma y algunos modos estadísticos de variación geométrica inferidos a partir de un conjunto de formas de entrenamiento.

El concepto de modelo de distribución de puntos fue desarrollado por Cootes, ^[1] Taylor et al. ^[2] y se convirtió en un estándar en visión por computadora para el estudio estadístico de la forma ^[3] y para la segmentación de imágenes médicas ^{[2] donde los valores a priori de la forma realmente ayudan a la interpretación de} píxeles / vóxeles ruidosos y de bajo contraste . Este último punto conduce a los modelos de forma activa (ASM) y los modelos de apariencia activa (AAM).

Los modelos de distribución de puntos se basan en puntos de referencia . Un punto de referencia es un punto de anotación que un anatomista coloca sobre un lugar dado para cada instancia de forma en la población del conjunto de entrenamiento. Por ejemplo, el mismo punto de referencia designará la punta del dedo índice en un conjunto de entrenamiento de contornos de manos en 2D. El análisis de componentes principales (PCA), por ejemplo, es una herramienta relevante para estudiar las correlaciones de movimiento entre grupos de puntos de referencia en la población del conjunto de entrenamiento. Por lo general, puede detectar que todos los puntos de referencia ubicados a lo largo del mismo dedo se mueven exactamente juntos en los ejemplos del conjunto de entrenamiento que muestran diferentes espacios entre los dedos para una colección de manos en posición plana.

En primer lugar, se marcan manualmente un conjunto de imágenes de entrenamiento con suficientes puntos de referencia correspondientes para aproximarse lo suficiente a la geometría de las formas originales. Estos puntos de referencia se alinean utilizando el análisis de Procrustes generalizado , que minimiza el error de mínimos cuadrados entre los puntos.

${\estilo de visualización k}$Los puntos de referencia alineados en dos dimensiones se dan como

${\displaystyle \mathbf {X} =(x_{1},y_{1},\ldots ,x_{k},y_{k})}$.

Es importante tener en cuenta que cada punto de referencia debe representar la misma ubicación anatómica. Por ejemplo, el punto de referencia n.° 3 podría representar la punta del dedo anular en todas las imágenes de entrenamiento. ${\displaystyle i\in \lbrace 1,\ldots k\rbrace}$${\estilo de visualización (x_{3},y_{3})}$

Ahora, los contornos de las formas se reducen a secuencias de puntos de referencia, de modo que una forma de entrenamiento dada se define como el vector . Suponiendo que la dispersión es gaussiana en este espacio, se utiliza PCA para calcular vectores propios normalizados y valores propios de la matriz de covarianza en todas las formas de entrenamiento. La matriz de los vectores propios superiores se da como , y cada vector propio describe un modo principal de variación a lo largo del conjunto. ${\estilo de visualización k}$${\displaystyle \mathbf {X} \en \mathbb {R} ^{2k}}$${\estilo de visualización d}$${\displaystyle \mathbf {P} \in \mathbb {R} ^{2k\times d}}$

Finalmente, se utiliza una combinación lineal de los vectores propios para definir una nueva forma , definida matemáticamente como: ${\displaystyle \mathbf {X} '}$

${\displaystyle \mathbf {X} '={\overline {\mathbf {X} }}+\mathbf {P} \mathbf {b} }$

donde se define como la forma media de todas las imágenes de entrenamiento y es un vector de valores de escala para cada componente principal. Por lo tanto, modificando la variable se puede definir un número infinito de formas. Para garantizar que las nuevas formas estén todas dentro de la variación observada en el conjunto de entrenamiento, es común permitir que cada elemento de esté dentro de 3 desviaciones estándar, donde la desviación estándar de un componente principal dado se define como la raíz cuadrada de su valor propio correspondiente. ${\displaystyle {\overline {\mathbf {X}}}$${\displaystyle \mathbf {b}}$${\displaystyle \mathbf {b}}$${\displaystyle \mathbf {b}}$${\estilo de visualización \pm}$

Los PDM se pueden ampliar a cualquier número arbitrario de dimensiones, pero normalmente se utilizan en aplicaciones de imágenes 2D y de volumen 3D (donde cada punto de referencia es o ). ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Un vector propio, interpretado en el espacio euclidiano , puede verse como una secuencia de vectores euclidianos asociados a un punto de referencia correspondiente y que designa un movimiento compuesto para toda la forma. La variación no lineal global suele manejarse bien siempre que la variación no lineal se mantenga en un nivel razonable. Por lo general, se utiliza un gusano nematodo retorcido como ejemplo en la enseñanza de métodos basados ​​en PCA de kernel . ${\estilo de visualización k}$

Debido a las propiedades del PCA: los vectores propios son mutuamente ortogonales , forman una base de la nube del conjunto de entrenamiento en el espacio de formas y se cruzan en el 0 de este espacio, que representa la forma media. Además, el PCA es una forma tradicional de ajustar un elipsoide cerrado a una nube gaussiana de puntos (cualquiera sea su dimensión): esto sugiere el concepto de variación acotada.

La idea detrás de los PDM es que los vectores propios se pueden combinar linealmente para crear una infinidad de nuevas instancias de forma que se "parecerán" a la del conjunto de entrenamiento. Los coeficientes están acotados de la misma manera que los valores de los valores propios correspondientes, de modo de garantizar que el punto 2n/3n-dimensional generado permanecerá dentro del dominio hiperelipsoidal permitido (dominio de forma permitido, ASD). ^[2]

• Análisis de Procusto

• Modelos flexibles para visión artificial, Tim Cootes, Universidad de Manchester.
• Una introducción práctica a PDM y ASM.