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Análisis de Procrustes

Superposición de Procrustes. La figura muestra los tres pasos de transformación de un ajuste de Procrustes ordinario para dos configuraciones de puntos de referencia. (a) Escala...

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Superposición de Procrustes. La figura muestra los tres pasos de transformación de un ajuste de Procrustes ordinario para dos configuraciones de puntos de referencia. (a) Escalado de ambas configuraciones al mismo tamaño; (b) Transposición a la misma posición del centro de gravedad; (c) Rotación a la orientación que proporciona la suma mínima de las distancias al cuadrado entre los puntos de referencia correspondientes.

En estadística , el análisis de Procrustes es una forma de análisis estadístico de formas que se utiliza para analizar la distribución de un conjunto de figuras . El nombre Procrustes ( en griego : Προκρούστης ) hace referencia a un bandido de la mitología griega que obligaba a sus víctimas a caber en su cama, ya fuera estirándoles las extremidades o cortándoselas.

En matemáticas:

  • Un problema de Procrustes ortogonal es un método que se puede utilizar para encontrar la rotación y/o reflexión óptima (es decir, la transformación lineal ortogonal óptima) para la superposición de Procrustes (PS) de un objeto con respecto a otro.
  • Un problema de Procrustes ortogonal restringido, sujeto a det ( R ) = 1 (donde R es una matriz ortogonal ), es un método que se puede utilizar para determinar la rotación óptima para el PS de un objeto con respecto a otro (no se permite la reflexión). En algunos contextos, este método se denomina algoritmo de Kabsch .

Cuando se compara una forma con otra, o un conjunto de formas con una forma de referencia seleccionada arbitrariamente, el análisis de Procrustes a veces se califica además como clásico u ordinario , en contraposición al análisis de Procrustes generalizado (GPA), que compara tres o más formas con una "forma media" determinada de forma óptima.

Introducción

Para comparar las formas de dos o más objetos, estos deben superponerse de forma óptima. La superposición de Procrustes (SP) se realiza mediante la traslación , rotación y escalado uniforme óptimos de los objetos. En otras palabras, tanto su posición en el espacio como su tamaño se ajustan libremente. El objetivo es obtener una posición y un tamaño similares, minimizando una medida de diferencia de forma denominada distancia de Procrustes entre los objetos. Esto se conoce a veces como SP completa , en contraposición a la SP parcial , en la que no se realiza ningún escalado (es decir, se conserva el tamaño de los objetos). Cabe destacar que, tras la SP completa, los objetos coincidirán exactamente si su forma es idéntica. Por ejemplo, con la SP completa, dos esferas con radios diferentes siempre coincidirán, ya que tienen exactamente la misma forma. Por el contrario, con la SP parcial nunca coincidirán. Esto implica que, según la definición estricta del término forma en geometría , el análisis de formas debe realizarse mediante SP completa. Un análisis estadístico basado en SP parcial no es un análisis de formas puro, ya que no solo es sensible a las diferencias de forma, sino también a las diferencias de tamaño. Ni la versión completa ni la parcial de Photoshop lograrán jamás emparejar perfectamente dos objetos con formas diferentes, como un cubo y una esfera, o una mano derecha y una mano izquierda.

En algunos casos, tanto el PS completo como el parcial pueden incluir reflexión . La reflexión permite, por ejemplo, una superposición exitosa (posiblemente perfecta) de una mano derecha sobre una izquierda. Por lo tanto, el PS parcial con reflexión habilitada conserva el tamaño pero permite traslación, rotación y reflexión, mientras que el PS completo con reflexión habilitada permite traslación, rotación, escalado y reflexión.

Análisis de Procrustes ordinario

Aquí consideramos objetos formados por un número finito k de puntos en n dimensiones. A menudo, estos puntos se seleccionan en la superficie continua de objetos complejos, como un hueso humano, y en este caso se denominan puntos de referencia .

La forma de un objeto puede considerarse como un miembro de una clase de equivalencia formada al eliminar los componentes de traslación , rotación y escalado uniforme .

Traducción

Por ejemplo, se pueden eliminar los componentes de traslación de un objeto trasladándolo de manera que la media de todos los puntos del objeto (es decir, su centroide ) se sitúe en el origen.

Matemáticamente: tomark{\displaystyle k}puntos en dos dimensiones, por ejemplo

((incógnita1,y1),(incógnita2,y2),…,(incógnitak,yk)){\displaystyle ((x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),\dots,(x_{k},y_{k}))\,}.

La media de estos puntos es(incógnita¯,y¯){\displaystyle ({\bar {x}},{\bar {y}})}dónde

incógnita¯=incógnita1+incógnita2+⋯+incógnitakk,y¯=y1+y2+⋯+ykk.{\displaystyle {\bar {x}}={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{k}}{k}},\quad {\bar {y}}={\frac {y_{1}+y_{2}+\cdots +y_{k}}{k}}.}

Ahora traslada estos puntos de manera que su media se traslade al origen.(incógnita,y)→(incógnita−incógnita¯,y−y¯){\displaystyle (x,y)\to (x-{\bar {x}},y-{\bar {y}})}, dando el punto(incógnita1−incógnita¯,y1−y¯),…{\displaystyle (x_{1}-{\bar {x}},y_{1}-{\bar {y}}),\dots }.

Escalado uniforme

Asimismo, el componente de escala se puede eliminar escalando el objeto de manera que la distancia cuadrática media ( RMSD ) desde los puntos hasta el origen trasladado sea 1. Esta RMSD es una medida estadística de la escala o tamaño del objeto :

s=(incógnita1−incógnita¯)2+(y1−y¯)2+⋯k{\displaystyle s={\sqrt {{(x_{1}-{\bar {x}})^{2}+(y_{1}-{\bar {y}})^{2}+\cdots } \over k}}}

La escala se convierte en 1 cuando las coordenadas del punto se dividen por la escala inicial del objeto:

((incógnita1−incógnita¯)/s,(y1−y¯)/s){\displaystyle ((x_{1}-{\bar {x}})/s,(y_{1}-{\bar {y}})/s)}.

Cabe señalar que en la bibliografía se utilizan a veces otros métodos para definir y eliminar la escala.

Rotación

Eliminar el componente rotacional es más complejo, ya que no siempre se dispone de una orientación de referencia estándar. Consideremos dos objetos compuestos por el mismo número de puntos con la escala y la traslación eliminadas. Sean los puntos de estos((incógnita1,y1),…){\displaystyle ((x_{1},y_{1}),\ldots )},((w1,z1),…){\displaystyle ((w_{1},z_{1}),\ldots )}Uno de estos objetos puede utilizarse como referencia de orientación. Fije el objeto de referencia y gire el otro alrededor del origen hasta encontrar un ángulo de rotación óptimo.θ{\displaystyle \theta \,\!}de tal manera que se minimice la suma de las distancias al cuadrado ( SSD ) entre los puntos correspondientes (un ejemplo de la técnica de mínimos cuadrados ).

Una rotación por ánguloθ{\displaystyle \theta \,\!}da

(tú1,v1)=(porque⁡θw1−pecado⁡θz1,pecado⁡θw1+porque⁡θz1){\displaystyle (u_{1},v_{1})=(\cos \theta \,w_{1}-\sin \theta \,z_{1},\,\sin \theta \,w_{1}+\cos \theta \,z_{1})\,\!}.

donde (u,v) son las coordenadas de un punto rotado. Tomando la derivada de(tú1−incógnita1)2+(v1−y1)2+⋯{\displaystyle (u_{1}-x_{1})^{2}+(v_{1}-y_{1})^{2}+\cdots }con respecto aθ{\displaystyle \theta }y resolver paraθ{\displaystyle \theta }cuando la derivada es cero da

θ=broncearse−1⁡(∑i=1k(wiyi−ziincógnitai)∑i=1k(wiincógnitai+ziyi)).{\displaystyle \theta =\tan ^{-1}\left({\frac {\sum _{i=1}^{k}(w_{i}y_{i}-z_{i}x_{i})}{\sum _{i=1}^{k}(w_{i}x_{i}+z_{i}y_{i})}}\right).}

Cuando el objeto es tridimensional, la rotación óptima se representa mediante una matriz de rotación de 3x3 R , en lugar de un simple ángulo, y en este caso se puede utilizar la descomposición en valores singulares para encontrar el valor óptimo de R (véase la solución para el problema de Procrustes ortogonal restringido , sujeto a det ( R ) = 1).

Comparación de formas

La diferencia entre la forma de dos objetos solo puede evaluarse después de superponerlos mediante traslación, escalado y rotación óptima, como se explicó anteriormente. La raíz cuadrada de la SSD mencionada entre los puntos correspondientes puede utilizarse como medida estadística de esta diferencia de forma.

d=(tú1−incógnita1)2+(v1−y1)2+⋯.{\displaystyle d={\sqrt {(u_{1}-x_{1})^{2}+(v_{1}-y_{1})^{2}+\cdots }}.}

Esta medida se suele denominar distancia de Procrustes . Cabe destacar que en la literatura se utilizan a veces otras definiciones más complejas de la distancia de Procrustes, así como otras medidas de "diferencia de forma".

Superponer un conjunto de formas

Mostramos cómo superponer dos figuras. El mismo método se puede aplicar para superponer un conjunto de tres o más figuras, siempre que se utilice la orientación de referencia mencionada anteriormente para todas ellas. Sin embargo, el análisis de Procrustes generalizado ofrece un método mejor para lograr este objetivo.

Análisis de Procrustes generalizado (GPA)

GPA aplica el método de análisis de Procrustes para superponer de forma óptima un conjunto de objetos, en lugar de superponerlos a una forma seleccionada arbitrariamente.

El análisis de Procrustes generalizado y el ordinario se diferencian únicamente en la determinación de la orientación de referencia de los objetos: en la primera técnica, esta se determina de forma óptima, mientras que en la segunda se selecciona arbitrariamente. Ambas técnicas realizan el escalado y la traslación de la misma manera. Cuando solo se comparan dos figuras, el análisis de Procrustes generalizado es equivalente al análisis de Procrustes ordinario.

El esquema del algoritmo es el siguiente:

  1. elegir arbitrariamente una forma de referencia (normalmente seleccionándola entre las instancias disponibles)
  2. superponer todas las instancias a la forma de referencia actual
  3. calcular la forma media del conjunto actual de formas superpuestas
  4. Si la distancia de Procrustes entre la forma media y la de referencia supera un umbral, establezca la forma media como referencia y continúe con el paso 2.

Variaciones

Existen muchas maneras de representar la forma de un objeto. Esta forma puede considerarse como un miembro de una clase de equivalencia formada al tomar el conjunto de todos los conjuntos de k puntos en n dimensiones, es decir , R kn , y factorizar el conjunto de todas las traslaciones, rotaciones y escalas. Una representación particular de la forma se obtiene al elegir una representación específica de la clase de equivalencia. Esto dará como resultado una variedad de dimensión kn -4. El método de Procrustes es una forma de hacerlo, con una justificación estadística particular.

Bookstein obtiene una representación de la forma fijando la posición de dos puntos llamados línea base. Un punto se fija en el origen y el otro en (1,0); los puntos restantes forman las coordenadas de Bookstein .

También es común considerar la forma y la escala una vez eliminados los componentes de traslación y rotación.

Ejemplos

El análisis de formas se utiliza en datos biológicos para identificar variaciones de características anatómicas caracterizadas por datos de puntos de referencia, por ejemplo, al considerar la forma de los huesos de la mandíbula. [ 1 ]

Un estudio realizado por David George Kendall examinó los triángulos formados por menhires para determinar si estos se disponían frecuentemente en líneas rectas. La forma de un triángulo puede representarse como un punto en la esfera, y la distribución de todas las formas puede considerarse como una distribución sobre la esfera. La distribución de la muestra de menhires se comparó con la distribución teórica para demostrar que la aparición de líneas rectas no superaba el promedio. [ 2 ]

Véase también

Referencias

  1. ↑ "Explorando la forma del espacio" Archivado el 1 de septiembre de 2006 en Wayback Machine por Nancy Marie Brown, Research/Penn State, Vol. 15, n.º 1, marzo de 1994
  2. ↑ "Un estudio de la teoría estadística de la forma" , por David G. Kendall, Statistical Science, vol. 4, n.º 2 (mayo de 1989), págs. 87-99
  • FL Bookstein, Herramientas morfométricas para datos de puntos de referencia , Cambridge University Press, (1991).
  • JC Gower, GB Dijksterhuis, Problemas de Procrustes , Oxford University Press (2004).
  • ILDryden, KV Mardia, Análisis estadístico de formas , Wiley, Chichester, (1998).
  • Extensiones al continuo de puntos y distribuciones. Métodos de Procrustes, reconocimiento de formas, similitud y acoplamiento, por Michel Petitjean.