Clase (teoría de conjuntos)

En la teoría de conjuntos y sus aplicaciones en matemáticas , una clase es una colección de objetos matemáticos (a menudo conjuntos ) que se puede definir inequívocamente mediante una propiedad que comparten todos sus miembros. Las clases sirven para tener colecciones similares a conjuntos, diferenciándose de ellos para evitar paradojas, especialmente la paradoja de Russell (véase §  Paradojas ). La definición precisa de "clase" depende del contexto fundacional. En la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel , la noción de clase es informal, mientras que otras teorías de conjuntos, como la de von Neumann-Bernays-Gödel , axiomatizan la noción de "clase propia", por ejemplo, como entidades que no son miembros de otra entidad.

Una clase que no es un conjunto (de manera informal en Zermelo-Fraenkel) se denomina clase propia , y una clase que sí es un conjunto se denomina a veces clase pequeña . Por ejemplo, la clase de todos los números ordinales y la clase de todos los conjuntos son clases propias en muchos sistemas formales.

En los escritos de Quine sobre teoría de conjuntos, la frase "clase última" se usa a menudo en lugar de la frase "clase propia", enfatizando que en los sistemas que considera, ciertas clases no pueden ser miembros y, por lo tanto, son el término final en cualquier cadena de pertenencia a la que pertenecen.

Fuera de la teoría de conjuntos, la palabra «clase» se usa a veces como sinónimo de «conjunto». Este uso se remonta a un período histórico en el que no se distinguían clases y conjuntos como se hace en la terminología moderna de la teoría de conjuntos. ^{[ 1 ]} Muchas discusiones sobre «clases» en el siglo XIX y anteriores se refieren en realidad a conjuntos, o más bien, se llevan a cabo sin considerar que ciertas clases pueden no ser conjuntos.

El conjunto de todas las estructuras algebraicas de un tipo dado suele ser una clase propia. Algunos ejemplos son la clase de todos los grupos , la clase de todos los espacios vectoriales y muchos otros. En teoría de categorías , una categoría cuyo conjunto de objetos forma una clase propia (o cuyo conjunto de morfismos forma una clase propia) se denomina categoría grande .

Los números surrealistas son una clase propia de objetos que tienen las propiedades de un campo .

En la teoría de conjuntos, muchas colecciones de conjuntos resultan ser clases propias. Algunos ejemplos son la clase de todos los conjuntos (la clase universal), la clase de todos los números ordinales y la clase de todos los números cardinales .

Una forma de demostrar que una clase es propia es colocarla en biyección con la clase de todos los números ordinales. Este método se utiliza, por ejemplo, en la demostración de que no existe un retículo completo libre sobre tres o más generadores .

Las paradojas de la teoría ingenua de conjuntos pueden explicarse en términos de la suposición tácita e inconsistente de que "todas las clases son conjuntos". Con una base rigurosa, estas paradojas sugieren, en cambio, pruebas de que ciertas clases son propias (es decir, que no son conjuntos). Por ejemplo, la paradoja de Russell sugiere una prueba de que la clase de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos es propia, y la paradoja de Burali-Forti sugiere que la clase de todos los números ordinales es propia. Las paradojas no surgen con las clases porque no existe la noción de clases que contengan clases. De lo contrario, se podría, por ejemplo, definir una clase de todas las clases que no se contienen a sí mismas, lo que daría lugar a una paradoja de Russell para las clases. Un conglomerado , por otro lado, puede tener clases propias como miembros. ^{[ 2 ]}

La teoría de conjuntos ZF no formaliza la noción de clases, por lo que cada fórmula con clases debe reducirse sintácticamente a una fórmula sin clases. ^{[ 3 ]} Por ejemplo, se puede reducir la fórmula${\displaystyle A=\{x\mid x=x\}}$a${\displaystyle \forall x(x\in A\leftrightarrow x=x)}$Para una clase${\displaystyle A}$y un símbolo de variable de conjunto${\displaystyle x}$, es necesario poder expandir cada una de las fórmulas${\displaystyle x\in A}$,${\displaystyle x=A}$,${\displaystyle A\in x}$, y${\displaystyle A=x}$en una fórmula sin ocurrencia de una clase. ^{[ 4 ] pág. 339}

Semánticamente, en un metalenguaje , las clases pueden describirse como clases de equivalencia de fórmulas lógicas : Si${\displaystyle {\mathcal {A}}}$es una estructura que interpreta ZF, luego la expresión "class-builder" del lenguaje objeto${\displaystyle \{x\mid \phi \}}$se interpreta en${\displaystyle {\mathcal {A}}}$mediante la recopilación de todos los elementos del dominio de${\displaystyle {\mathcal {A}}}$en el cual${\displaystyle \phi (x)}$se cumple; por lo tanto, la clase puede describirse como el conjunto de todos los predicados equivalentes a${\displaystyle \phi }$(que incluye${\displaystyle \phi }$en sí mismo). En particular, se puede identificar la "clase de todos los conjuntos" con el conjunto de todos los predicados equivalentes a${\displaystyle x=x}$.

Debido a que las clases no tienen ningún estatus formal en la teoría de ZF, los axiomas de ZF no se aplican inmediatamente a las clases. Sin embargo, si un cardinal inaccesible${\displaystyle \kappa }$Si se asume que los conjuntos de menor rango forman un modelo de ZF (un universo de Grothendieck ), y sus subconjuntos pueden considerarse como "clases".

En ZF, el concepto de función también se puede generalizar a clases. Una función de clase no es una función en el sentido habitual, ya que no es un conjunto; es más bien una fórmula.${\displaystyle \Phi (x,y)}$con la propiedad de que para cualquier conjunto${\displaystyle x}$No hay más de un conjunto${\displaystyle y}$de tal manera que el par${\displaystyle (x,y)}$Satisface${\displaystyle \Phi }$Por ejemplo, la función de clase que asigna cada conjunto a su conjunto potencia puede expresarse como la fórmula${\displaystyle y={\mathcal {P}}(x)}$. El hecho de que el par ordenado${\displaystyle (x,y)}$Satisface${\displaystyle \Phi }$puede expresarse con la notación abreviada${\displaystyle \Phi (x)=y}$.

Otro enfoque lo adoptan los axiomas de von Neumann-Bernays-Gödel (NBG); en esta teoría, las clases son los objetos básicos, y un conjunto se define como una clase que es un elemento de alguna otra clase. Sin embargo, los axiomas de existencia de clases de NBG están restringidos, de modo que solo se aplican a conjuntos, en lugar de a todas las clases. Esto hace que NBG sea una extensión conservadora de ZFC.

La teoría de conjuntos de Morse-Kelley admite clases propias como objetos básicos, al igual que NBG, pero también permite la cuantificación sobre todas las clases propias en sus axiomas de existencia de clases. Esto hace que la teoría de conjuntos de Morse-Kelley sea estrictamente más fuerte que NBG y ZFC.

Otras teorías de conjuntos, como la de los Nuevos Fundamentos o la de los semiconjuntos , siguen dando lugar a "clases propias" (en la medida en que requieren clases que no son conjuntos), porque no postulan que todas las subclases de un conjunto sean a su vez conjuntos. Por ejemplo, cualquier teoría de conjuntos con un conjunto universal debe incluir clases propias que sean subclases de conjuntos.

• Jech, Thomas (2003), Teoría de conjuntos , Monografías de Springer en matemáticas (  edición del tercer milenio), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-44085-7
• Levy, A. (1979), Teoría básica de conjuntos , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag
• Smullyan, Raymond M .; Fitting, Melvin (2010), Teoría de conjuntos y el problema del continuo , Dover Publications, ISBN 978-0-486-47484-7
• Monk, Donald J. (1969), Introducción a la teoría de conjuntos , McGraw-Hill Book Co., ISBN 9780070427150

• Weisstein, Eric W. , "Clase de conjunto" , MathWorld