Aproximación de ángulo pequeño

Para un ángulo pequeño, H y A tienen casi la misma longitud, y por lo tanto cos θ es casi 1. El segmento d (en rojo a la derecha) es la diferencia entre las longitudes de la hipotenusa , H , y el cateto adyacente, A , y tiene longitud${\displaystyle \textstyle H-{\sqrt {H^{2}-O^{2}}}}$, que para ángulos pequeños es aproximadamente igual a${\displaystyle \textstyle O^{2}\!/2H\approx {\tfrac {1}{2}}\theta ^{2}H}$. Como aproximación de segundo orden, $${\displaystyle \cos {\theta }\approx 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}.}$$

El cateto opuesto, O , es aproximadamente igual a la longitud del arco azul, s . El arco s tiene una longitud θA , y por definición sen θ = O / H y tan θ = O / A , y para un ángulo pequeño, O ≈ s y H ≈ A , lo que lleva a :$${\displaystyle \sin \theta ={\frac {O}{H}}\approx {\frac {O}{A}}=\tan \theta ={\frac {O}{A}}\approx {\frac {s}{A}}={\frac {A\theta }{A}}=\theta .}$$

O, de forma más concisa, $${\displaystyle \sin \theta \approx \tan \theta \approx \theta .}$$

Utilizando el teorema de compresión , ^{[ 4 ]} se puede demostrar que $${\displaystyle \lim _{\theta \to 0}{\frac {\sin(\theta )}{\theta }}=1,}$$que es una reformulación formal de la aproximación${\displaystyle \sin(\theta )\approx \theta }$para valores pequeños de θ .

Una aplicación más cuidadosa del teorema de compresión demuestra que$${\displaystyle \lim _{\theta \to 0}{\frac {\tan(\theta )}{\theta }}=1,}$$de lo cual concluimos que${\displaystyle \tan(\theta )\approx \theta }$para valores pequeños de θ .

Finalmente, la regla de L'Hôpital nos dice que$${\displaystyle \lim _{\theta \to 0}{\frac {\cos(\theta )-1}{\theta ^{2}}}=\lim _{\theta \to 0}{\frac {-\sin(\theta )}{2\theta }}=-{\frac {1}{2}},}$$que se reorganiza en${\textstyle \cos(\theta )\approx 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}}$para valores pequeños de θ . Alternativamente, podemos usar la fórmula del ángulo doble.${\displaystyle \cos 2A\equiv 1-2\sin ^{2}A}$. Al dejar${\displaystyle \theta =2A}$, lo entendemos${\textstyle \cos \theta =1-2\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}\approx 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}}$.

Las expansiones en serie de Taylor de las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente cerca de cero son: ^{[ 5 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sin \theta &=\theta -{\frac {1}{6}}\theta ^{3}+{\frac {1}{120}}\theta ^{5}-\cdots ,\\[6mu]\cos \theta &=1-{\frac {1}{2}}{\theta ^{2}}+{\frac {1}{24}}\theta ^{4}-\cdots ,\\[6mu]\tan \theta &=\theta +{\frac {1}{3}}\theta ^{3}+{\frac {2}{15}}\theta ^{5}+\cdots .\end{aligned}}}$$

donde​${\displaystyle \theta }$⁠ es el ángulo en radianes. Para ángulos muy pequeños, potencias más altas de ⁠${\displaystyle \theta }$⁠ volverse extremadamente pequeño, por ejemplo si ⁠${\displaystyle \theta =0.01}$⁠ , entonces ⁠${\displaystyle \theta ^{3}=0.000\,001}$⁠ , tan solo una diezmilésima parte de ⁠${\displaystyle \theta }$Por lo tanto, para muchos propósitos basta con omitir los términos cúbicos y superiores y aproximar el seno y la tangente de un ángulo pequeño utilizando la medida en radianes del ángulo .${\displaystyle \sin \theta \approx \tan \theta \approx \theta }$⁠ , y descartamos el término cuadrático y aproximamos el coseno como ⁠${\displaystyle \cos \theta \approx 1}$⁠ .

Si se necesita mayor precisión, también se pueden incluir los términos cuadráticos y cúbicos .${\displaystyle \sin \theta \approx \theta -{\tfrac {1}{6}}\theta ^{3}}$,​ ​${\displaystyle \cos \theta \approx 1-{\tfrac {1}{2}}\theta ^{2}}$y​ ​${\displaystyle \tan \theta \approx \theta +{\tfrac {1}{3}}\theta ^{3}}$⁠ .

En astronomía , el tamaño angular o ángulo subtendido por la imagen de un objeto distante suele ser de tan solo unos pocos segundos de arco (denotado por el símbolo ″), por lo que se ajusta bien a la aproximación de ángulo pequeño. ^{[ 7 ]} El tamaño lineal ( D ) está relacionado con el tamaño angular ( X ) y la distancia al observador ( d ) mediante la fórmula simple:

${\displaystyle D=X{\frac {d}{206\,265{''}}}}$

donde X se mide en segundos de arco.

La cantidad206 265 ″ es aproximadamente igual al número de segundos de arco en 1 radián, que es el número de segundos de arco en un círculo (1 296 000 ″ ) dividido por 2π .

La fórmula exacta es

${\displaystyle D=d\tan \left(X{\frac {2\pi }{1\,296\,000{''}}}\right)}$

y la aproximación anterior se obtiene cuando se reemplaza tan X por X.

Por ejemplo, el pársec se define por el valor de d cuando D = 1 UA, X = 1 segundo de arco, pero la definición utilizada es la aproximación de ángulo pequeño (la primera ecuación anterior).

La aproximación del coseno de segundo orden es especialmente útil para calcular la energía potencial de un péndulo , la cual puede aplicarse posteriormente con un lagrangiano para hallar la ecuación indirecta (de energía) del movimiento. Al calcular el período de un péndulo simple, se utiliza la aproximación de ángulo pequeño para el seno, lo que permite resolver fácilmente la ecuación diferencial resultante mediante comparación con la ecuación diferencial que describe el movimiento armónico simple . ^{[ 8 ]}

En óptica, las aproximaciones de ángulo pequeño forman la base de la aproximación paraxial .

Las aproximaciones de ángulo pequeño de seno y tangente se utilizan en relación con el experimento de doble rendija o una rejilla de difracción para desarrollar ecuaciones simplificadas como la siguiente, donde y es la distancia de una franja desde el centro de máxima intensidad de luz, m es el orden de la franja, D es la distancia entre las rendijas y la pantalla de proyección, y d es la distancia entre las rendijas: ^{[ 9 ]}$${\displaystyle y\approx {\frac {m\lambda D}{d}}}$$

La aproximación de ángulo pequeño también se utiliza en mecánica estructural , especialmente en análisis de estabilidad y bifurcación (principalmente de columnas cargadas axialmente a punto de pandearse ). Esto conlleva simplificaciones significativas, aunque a costa de la precisión y la comprensión del comportamiento real.

La regla de 1 en 60 utilizada en la navegación aérea se basa en la aproximación de ángulo pequeño, además del hecho de que un radián equivale aproximadamente a 60 grados.

Las fórmulas de suma y resta que involucran un ángulo pequeño pueden usarse para interpolar entre valores de tablas trigonométricas :

Ejemplo: sen(0,755) $${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(0.755)&=\sin(0.75+0.005)\\&\approx \sin(0.75)+(0.005)\cos(0.75)\\&\approx (0.6816)+(0.005)(0.7317)\\&\approx 0.6853.\end{aligned}}}$$ donde los valores de sen(0,75) y cos(0,75) se obtienen de la tabla trigonométrica. El resultado es preciso hasta las cuatro cifras decimales indicadas.