Teorema de Slutsky

En teoría de la probabilidad , el teorema de Slutsky extiende algunas propiedades de las operaciones algebraicas sobre secuencias convergentes de números reales a secuencias de variables aleatorias . ^{[ 1 ]}

El teorema recibió su nombre en honor a Eugen Slutsky . ^{[ 2 ]} El teorema de Slutsky también se atribuye a Harald Cramér . ^{[ 3 ]}

Dejar${\displaystyle X_{n},Y_{n}}$sean secuencias de elementos aleatorios escalares/vectoriales/matriciales . Si ${\displaystyle X_{n}}$converge en distribución a un elemento aleatorio${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y_{n}}$converge en probabilidad a una constante${\displaystyle c}$, entonces

• ${\displaystyle X_{n}+Y_{n}\ {\xrightarrow {d}}\ X+c;}$
• ${\displaystyle X_{n}Y_{n}\ \xrightarrow {d} \ Xc;}$
• ${\displaystyle X_{n}/Y_{n}\ {\xrightarrow {d}}\ X/c,}$ siempre que c sea distinto de cero,

dónde${\displaystyle {\xrightarrow {d}}}$denota convergencia en la distribución .

Notas:

1. El requisito de que Y _n converja a una constante es importante; si convergiera a una variable aleatoria no degenerada, el teorema dejaría de ser válido. Por ejemplo, sea${\displaystyle X_{n}\sim {\rm {Uniform}}(0,1)}$y${\displaystyle Y_{n}=-X_{n}}$. La suma${\displaystyle X_{n}+Y_{n}=0}$para todos los valores de n . Además,${\displaystyle Y_{n}\,\xrightarrow {d} \,{\rm {Uniform}}(-1,0)}$, pero${\displaystyle X_{n}+Y_{n}}$no converge en distribución a${\displaystyle X+Y}$, dónde${\displaystyle X\sim {\rm {Uniform}}(0,1)}$,${\displaystyle Y\sim {\rm {Uniform}}(-1,0)}$, y${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$son independientes. ^{[ 4 ]}
2. El teorema sigue siendo válido si sustituimos todas las convergencias en distribución por convergencias en probabilidad.

Este teorema se deduce del hecho de que si X _n converge en distribución a X y Y _n converge en probabilidad a una constante c , entonces el vector conjunto ( X _n , Y _n ) converge en distribución a ( X , c ) ( ver aquí ). 

A continuación aplicamos el teorema de la aplicación continua , reconociendo que las funciones g ( x , y )  = x + y , g ( x , y ) = xy , y g ( x , y ) = x y ⁻¹ son continuas (para que la última función sea continua, y tiene que ser invertible).       

• Convergencia de variables aleatorias

• Casella, George ; Berger, Roger L. (2001). Inferencia estadística . Pacific Grove: Duxbury. pp. 240–245 . ISBN  0-534-24312-6.
• Grimmett, G.; Stirzaker, D. (2001). Probabilidad y procesos aleatorios (3.ª  ed.). Oxford.
• Hayashi, Fumio (2000). Econometría . Princeton University Press. pp. 92–93 . ISBN  0-691-01018-8.