Unidad de matriz

En álgebra lineal , una unidad matricial es una matriz con una sola entrada distinta de cero con valor 1. ^{[1] [2]} La unidad matricial con un 1 en la i -ésima fila y la j -ésima columna se denota como . Por ejemplo, la unidad matricial de 3 por 3 con i = 1 y j = 2 es Una unidad vectorial es un vector unitario estándar . $Estilo de visualización E_ {ij}}$$${\displaystyle E_{12}={\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}}$$

Una matriz de entrada única generaliza la unidad matricial para matrices con solo una entrada distinta de cero de cualquier valor, no necesariamente de valor 1.

El conjunto de unidades matriciales m por n es una base del espacio de matrices m por n . ^[2]

El producto de dos unidades matriciales de la misma forma cuadrada satisface la relación donde es el delta de Kronecker . ^[2]${\displaystyle n\veces n}$$${\ Displaystyle E_ {ij} E_ {kl} = \ delta _ {jk} E_ {il},}$$$estilo de visualización delta _{jk}$

El grupo de matrices escalares n por n sobre un anillo R es el centralizador del subconjunto de unidades matriciales n por n en el conjunto de matrices n por n sobre R. ^[2]

La norma matricial (inducida por las mismas dos normas vectoriales) de una unidad matricial es igual a 1.

Cuando se multiplica por otra matriz, se aísla una fila o columna específica en una posición arbitraria. Por ejemplo, para cualquier matriz A de 3 x 3 : ^[3]

${\displaystyle E_{23}A=\left[{\begin{matriz}0&0&0\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\0&0&0\end{matriz}}\right].}$

${\displaystyle AE_{23}=\left[{\begin{matriz}0&0&a_{12}\\0&0&a_{22}\\0&0&a_{32}\end{matriz}}\right].}$