Base estándar

En matemáticas , la base estándar (también llamada base natural o base canónica ) de un espacio vectorial de coordenadas (como o ) es el conjunto de vectores, cada uno de cuyos componentes son todos cero, excepto uno que es igual a 1. ^{[ 1 ]} Por ejemplo, en el caso del plano euclidiano formado por los pares ( x , y ) de números reales , la base estándar está formada por los vectores De manera similar, la base estándar para el espacio tridimensional está formada por los vectores Aquí el vector e _x apunta en la dirección x , el vector e _y apunta en la dirección y , y el vector e _z apunta en la dirección z . Hay varias notaciones comunes para los vectores de la base estándar, incluyendo { e _x , e _y , e _z } , { e ₁ , e ₂ , e ₃ } , { i , j , k } , y { x , y , z } . Estos vectores a veces se escriben con un sombrero para enfatizar su condición de vectores unitarios ( vectores unitarios estándar ).${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$$${\displaystyle \mathbf {e} _{x}=(1,0),\quad \mathbf {e} _{y}=(0,1).}$$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$$${\displaystyle \mathbf {e} _{x}=(1,0,0),\quad \mathbf {e} _{y}=(0,1,0),\quad \mathbf {e} _{z}=(0,0,1).}$$

Estos vectores son una base en el sentido de que cualquier otro vector puede expresarse de forma única como una combinación lineal de estos. ^{[ 2 ]} Por ejemplo, todo vector v en el espacio tridimensional puede escribirse de forma única como los escalares v _x , v _y , v _z siendo las componentes escalares del vector v .$${\displaystyle v_{x}\,\mathbf {e} _{x}+v_{y}\,\mathbf {e} _{y}+v_{z}\,\mathbf {e} _{z},}$$

En el espacio euclidiano n - dimensional , la base estándar consta de n vectores distintos donde e _i denota el vector con un 1 en la i- ésima coordenada y 0 en las demás.${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$$${\displaystyle \{\mathbf {e} _{i}:1\leq i\leq n\},}$$

Se pueden definir bases estándar para otros espacios vectoriales , cuya definición involucra coeficientes , como polinomios y matrices . En ambos casos, la base estándar consiste en los elementos del espacio tales que todos los coeficientes excepto uno son 0 y el no nulo es 1. Para los polinomios, la base estándar consiste en los monomios y se denomina comúnmente base monomial . Para matrices M _{m × n} , la base estándar consiste en las matrices m × n con exactamente una entrada no nula, que es 1. Por ejemplo, la base estándar para matrices de 2×2 está formada por las 4 matrices $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {e} _{11}&={\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}},&\mathbf {e} _{12}&={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}},\\\mathbf {e} _{21}&={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}},&\mathbf {e} _{22}&={\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$$

Por definición, la base estándar es una secuencia de vectores unitarios ortogonales . En otras palabras, es una base ordenada y ortonormal .

Sin embargo, una base ortonormal ordenada no es necesariamente una base estándar. Por ejemplo, los dos vectores que representan una rotación de 30° de la base estándar bidimensional descrita anteriormente, es decir, también son vectores unitarios ortogonales, pero no están alineados con los ejes del sistema de coordenadas cartesianas , por lo que la base con estos vectores no cumple la definición de base estándar.$${\displaystyle {\begin{aligned}v_{1}&=\left({{\sqrt {3}} \over 2},{1 \over 2}\right)\\v_{2}&=\left({1 \over 2},{-{\sqrt {3}} \over 2}\right)\end{aligned}}}$$

También existe una base estándar para el anillo de polinomios en n indeterminadas sobre un cuerpo , a saber, los monomios .

Todos los casos anteriores son casos especiales de la familia indexada donde I es cualquier conjunto y δ _ij es la delta de Kronecker , igual a cero siempre que i ≠ j e igual a 1 si i = j . Esta familia es la base canónica del R -módulo ( módulo libre ) de todas las familias de I en un anillo R , que son cero excepto para un número finito de índices , si interpretamos 1 como 1 _R , ^la unidad en R. ^{[ 3} ]$${\displaystyle {(e_{i})}_{i\in I}=((\delta _{ij})_{j\in I})_{i\in I}}$$$${\displaystyle R^{(I)}}$$$${\displaystyle f=(f_{i})}$$

La existencia de otras bases "estándar" se ha convertido en un tema de interés en la geometría algebraica , comenzando con el trabajo de Hodge en 1943 sobre los grassmannianos . Ahora forma parte de la teoría de la representación, denominada teoría monomial estándar . La idea de base estándar en el álgebra envolvente universal de un álgebra de Lie se establece mediante el teorema de Poincaré-Birkhoff-Witt .

Las bases de Gröbner también se conocen a veces como bases estándar.

En física , los vectores base estándar para un espacio euclidiano dado a veces se denominan versores de los ejes del sistema de coordenadas cartesianas correspondiente.

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