Envolvente (ondas)

En física e ingeniería , la envolvente de una señal oscilante es una curva suave que delimita sus extremos. ^{[ 1 ]} La envolvente generaliza así el concepto de amplitud constante a amplitud instantánea . La figura ilustra una onda sinusoidal modulada que varía entre una envolvente superior y una inferior . La función de envolvente puede depender del tiempo, el espacio, el ángulo o cualquier otra variable.

Una situación común que resulta en una función envolvente tanto en el espacio x como en el tiempo t es la superposición de dos ondas de casi la misma longitud de onda y frecuencia: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}F(x,\ t)&=\sin \left[2\pi \left({\frac {x}{\lambda -\Delta \lambda }}-(f+\Delta f)t\right)\right]+\sin \left[2\pi \left({\frac {x}{\lambda +\Delta \lambda }}-(f-\Delta f)t\right)\right]\\[6pt]&\approx 2\cos \left[2\pi \left({\frac {x}{\lambda _{\rm {mod}}}}-\Delta f\ t\right)\right]\ \sin \left[2\pi \left({\frac {x}{\lambda }}-f\ t\right)\right]\end{aligned}}}$

que utiliza la fórmula trigonométrica para la suma de dos ondas sinusoidales y la aproximación  Δ λ  ≪ λ : 

${\displaystyle {\frac {1}{\lambda \pm \Delta \lambda }}={\frac {1}{\lambda }}\ {\frac {1}{1\pm \Delta \lambda /\lambda }}\approx {\frac {1}{\lambda }}\mp {\frac {\Delta \lambda }{\lambda ^{2}}}.}$

Aquí la longitud de onda de modulación λ _mod viene dada por: ^{[ 2 ] [ 3 ]}

${\displaystyle \lambda _{\rm {mod}}={\frac {\lambda ^{2}}{\Delta \lambda }}\ .}$

Entonces

dónde

La longitud de onda de modulación es el doble de la de la envolvente, ya que cada media longitud de onda de la onda coseno moduladora rige tanto los valores positivos como los negativos de la onda sinusoidal modulada. Del mismo modo, la frecuencia de batido es la de la envolvente, el doble de la de la onda moduladora, o 2Δf . ^{[ 4 ]}

Si esta onda es una onda sonora, el oído escucha la frecuencia asociada con f y la amplitud de este sonido varía con la frecuencia de batido. ^{[ 4 ]}

Velocidad de fase y de grupo

El argumento de las sinusoides anteriores, aparte de un factor de 2π, es :

${\displaystyle \xi _{C}=\left({\frac {x}{\lambda }}-f\ t\right)\ ,}$

${\displaystyle \xi _{E}=\left({\frac {x}{\lambda _{\rm {mod}}}}-\Delta f\ t\right)\ ,}$

con los subíndices C y E que se refieren a la portadora y la envolvente . La misma amplitud F de la onda resulta de los mismos valores de ξ _C y ξ _E , cada uno de los cuales puede volver al mismo valor para diferentes pero adecuadamente relacionadas elecciones de x y t . Esta invariancia significa que se pueden rastrear estas formas de onda en el espacio para encontrar la velocidad de una posición de amplitud fija a medida que se propaga en el tiempo; para que el argumento de la onda portadora permanezca igual, la condición es:

${\displaystyle \left({\frac {x}{\lambda }}-f\ t\right)=\left({\frac {x+\Delta x}{\lambda }}-f(t+\Delta t)\right)\ ,}$

lo que demuestra que para mantener una amplitud constante, la distancia Δ x está relacionada con el intervalo de tiempo Δ t mediante la denominada velocidad de fase v _p.

${\displaystyle v_{\rm {p}}={\frac {\Delta x}{\Delta t}}=\lambda f\ .}$

Por otro lado, las mismas consideraciones muestran que la envolvente se propaga a la llamada velocidad de grupo v _g : ^{[ 5 ]}

${\displaystyle v_{\rm {g}}={\frac {\Delta x}{\Delta t}}=\lambda _{\rm {mod}}\Delta f=\lambda ^{2}{\frac {\Delta f}{\Delta \lambda }}\ .}$

Una expresión más común para la velocidad de grupo se obtiene introduciendo el vector de onda k :

${\displaystyle k={\frac {2\pi }{\lambda }}\ .}$

Observamos que para pequeños cambios Δ λ , la magnitud del pequeño cambio correspondiente en el vector de onda, digamos Δ k , es:

${\displaystyle \Delta k=\left|{\frac {dk}{d\lambda }}\right|\Delta \lambda =2\pi {\frac {\Delta \lambda }{\lambda ^{2}}}\ ,}$

Por lo tanto, la velocidad de grupo se puede reescribir como:

${\displaystyle v_{\rm {g}}={\frac {2\pi \Delta f}{\Delta k}}={\frac {\Delta \omega }{\Delta k}}\ ,}$

donde ω es la frecuencia en radianes/s: ω = 2 π f . En todos los medios, la frecuencia y el vector de onda están relacionados por una relación de dispersión , ω = ω ( k ), y la velocidad de grupo se puede escribir como:

${\displaystyle v_{\rm {g}}={\frac {d\omega (k)}{dk}}\ .}$

En un medio como el vacío clásico, la relación de dispersión para las ondas electromagnéticas es:

${\displaystyle \omega =c_{0}k}$

donde c ₀ es la velocidad de la luz en el vacío clásico. Para este caso, las velocidades de fase y de grupo son ambas c ₀ .

En los denominados medios dispersivos, la relación de dispersión puede ser una función compleja del vector de onda, y las velocidades de fase y de grupo no son iguales. Por ejemplo, para varios tipos de ondas exhibidas por vibraciones atómicas ( fonones ) en GaAs , las relaciones de dispersión se muestran en la figura para diversas direcciones del vector de onda k . En el caso general, las velocidades de fase y de grupo pueden tener direcciones diferentes. ^{[ 7 ]}

En física de la materia condensada, una autofunción de energía para un portador de carga móvil en un cristal puede expresarse como una onda de Bloch :

${\displaystyle \psi _{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }u_{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} )\ ,}$

donde n es el índice de la banda (por ejemplo, banda de conducción o de valencia), r es una ubicación espacial y k es un vector de onda . La exponencial es una función que varía sinusoidalmente y corresponde a una envolvente que varía lentamente, modulando la parte que varía rápidamente de la función de onda u _{n , k} que describe el comportamiento de la función de onda cerca de los núcleos de los átomos de la red. La envolvente está restringida a valores de k dentro de un rango limitado por la zona de Brillouin del cristal, y eso limita la rapidez con la que puede variar con la ubicación r .

Para determinar el comportamiento de los portadores mediante mecánica cuántica , se suele utilizar la aproximación de la envolvente , en la que la ecuación de Schrödinger se simplifica para referirse únicamente al comportamiento de la envolvente, y las condiciones de contorno se aplican directamente a la función de la envolvente, en lugar de a la función de onda completa. ^{[ 9 ]} Por ejemplo, la función de onda de un portador atrapado cerca de una impureza está regida por una función de envolvente F que rige una superposición de funciones de Bloch:

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=\sum _{\mathbf {k} }F(\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k\cdot r} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )\ ,}$

donde los componentes de Fourier de la envolvente F ( k ) se obtienen a partir de la ecuación de Schrödinger aproximada. ^{[ 10 ]} En algunas aplicaciones, la parte periódica u _k se reemplaza por su valor cerca del borde de banda, digamos k = k ₀ , y entonces: ^{[ 9 ]}

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )\approx \left(\sum _{\mathbf {k} }F(\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k\cdot r} }\right)u_{\mathbf {k} =\mathbf {k} _{0}}(\mathbf {r} )=F(\mathbf {r} )u_{\mathbf {k} =\mathbf {k} _{0}}(\mathbf {r} )\ .}$

Los patrones de difracción de múltiples rendijas tienen envolventes determinadas por el patrón de difracción de una sola rendija. Para una sola rendija, el patrón viene dado por: ^{[ 11 ]}

${\displaystyle I_{1}=I_{0}\sin ^{2}\left({\frac {\pi d\sin \alpha }{\lambda }}\right)/\left({\frac {\pi d\sin \alpha }{\lambda }}\right)^{2}\ ,}$

donde α es el ángulo de difracción, d es el ancho de la rendija y λ es la longitud de onda. Para múltiples rendijas, el patrón es ^{[ 11 ].}

${\displaystyle I_{q}=I_{1}\sin ^{2}\left({\frac {q\pi g\sin \alpha }{\lambda }}\right)/\sin ^{2}\left({\frac {\pi g\sin \alpha }{\lambda }}\right)\ ,}$

donde q es el número de rendijas y g es la constante de la rejilla. El primer factor, el resultado de una sola rendija I ₁ , modula el segundo factor, que varía más rápidamente y depende del número de rendijas y su separación.

Un detector de envolvente es un circuito que intenta extraer la envolvente de una señal analógica .

En el procesamiento de señales digitales , la envolvente se puede estimar empleando la transformada de Hilbert o una amplitud RMS móvil . ^{[ 12 ]}

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• Modulación
• Matemáticas de la oscilación
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• Envolvente espectral

Este artículo incorpora material del artículo de Citizendium " Función de sobre ", que está bajo la licencia Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported , pero no bajo la GFDL .