Polinomios de Shapiro

En matemáticas, los polinomios de Shapiro son una secuencia de polinomios que Harold S. Shapiro estudió por primera vez en 1951 al considerar la magnitud de sumas trigonométricas específicas . ^{[ 1 ]} En el procesamiento de señales , los polinomios de Shapiro tienen buenas propiedades de autocorrelación y sus valores en el círculo unitario son pequeños. ^{[ 2 ]} Los primeros miembros de la secuencia son:

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{1}(x)&{}=1+x\\P_{2}(x)&{}=1+x+x^{2}-x^{3}\\P_{3}(x)&{}=1+x+x^{2}-x^{3}+x^{4}+x^{5}-x^{6}+x^{7}\\...\\Q_{1}(x)&{}=1-x\\Q_{2}(x)&{}=1+x-x^{2}+x^{3}\\Q_{3}(x)&{}=1+x+x^{2}-x^{3}-x^{4}-x^{5}+x^{6}-x^{7}\\...\\\end{aligned}}}$

donde se dice que la segunda secuencia, indicada por Q , es complementaria a la primera secuencia, indicada por P.

Los polinomios de Shapiro P _n ( z ) se pueden construir a partir de la secuencia de Golay-Rudin-Shapiro a _n , que es igual a 1 si el número de pares de unos consecutivos en la expansión binaria de n es par, y − 1 en caso contrario. Así, a ₀  =  1, a ₁  =  1, a ₂  =  1, a ₃  = − 1, etc. 

La primera P _n ( z ) de Shapiro es la suma parcial de orden 2 ⁿ − 1 (donde n = 0, 1, 2, ...) de la serie de potencias       

f ( z )  := a ₀ + a ₁ z + a ₂ z ² + ...

La secuencia de Golay-Rudin-Shapiro { a _n } tiene una estructura de tipo fractal – por ejemplo, a _n  = a _{2 n} – lo que implica que la subsecuencia ( a ₀ , a ₂ , a ₄ , ...) replica la secuencia original { a _n }. Esto a su vez conduce a ecuaciones funcionales notables que satisface f ( z ).    

Los segundos o complementarios polinomios de Shapiro Q _n ( z ) pueden definirse en términos de esta secuencia, o mediante la relación Q _n ( z ) = (−1) ⁿ z ^{2 n −1} P _n (−1/ z ), o mediante las recurrencias

${\displaystyle P_{0}(z)=1;~~Q_{0}(z)=1;}$

${\displaystyle P_{n+1}(z)=P_{n}(z)+z^{2^{n}}Q_{n}(z);}$

${\displaystyle Q_{n+1}(z)=P_{n}(z)-z^{2^{n}}Q_{n}(z).}$

La secuencia de polinomios complementarios Q _n correspondientes a P _n se caracteriza de forma única por las siguientes propiedades:

• (i) Q _n es de grado 2 ⁿ − 1;
• (ii) los coeficientes de Q _n son todos 1 o − 1, y su término constante es igual a 1; y
• (iii) la identidad | P _n ( z )| ² + | Q _n ( z )| ² = 2 ^{( n + 1)} se cumple en el círculo unitario, donde la variable compleja z tiene valor absoluto uno.

La propiedad más interesante de { P _n } es que el valor absoluto de P _n ( z ) está acotado en el círculo unitario por la raíz cuadrada de 2 ^{( n + 1)} , que es del orden de la norma L ² de P _n . Los polinomios con coeficientes del conjunto { − 1,  1} cuyo módulo máximo en el círculo unitario es cercano a su módulo medio son útiles para diversas aplicaciones en la teoría de la comunicación (por ejemplo, diseño de antenas y compresión de datos ). La propiedad (iii) muestra que ( P , Q ) forman un par de Golay . 

Estos polinomios tienen propiedades adicionales: ^{[ 3 ]}

${\displaystyle P_{n+1}(z)=P_{n}(z^{2})+zP_{n}(-z^{2});\,}$

${\displaystyle Q_{n+1}(z)=Q_{n}(z^{2})+zQ_{n}(-z^{2});\,}$

${\displaystyle P_{n}(z)P_{n}(1/z)+Q_{n}(z)Q_{n}(1/z)=2^{n+1};\,}$

${\displaystyle P_{n+k+1}(z)=P_{n}(z)P_{k}(z^{2^{n+1}})+z^{2^{n}}Q_{n}(z)P_{k}(-z^{2^{n+1}});\,}$

${\displaystyle P_{n}(1)=2^{\lfloor (n+1)/2\rfloor };{~}{~}P_{n}(-1)=(1+(-1)^{n})2^{\lfloor n/2\rfloor -1}.\,}$

• Polinomios de Littlewood

• Borwein, Peter B (2002). Excursiones computacionales en análisis y teoría de números . Springer. ISBN 978-0-387-95444-8. Consultado el 30 de marzo de 2007 .Capítulo 4.
• Mendès France, Michel (1990). «La secuencia de Rudin-Shapiro, la cadena de Ising y el plegado de papel». En Berndt, Bruce C .; Diamond, Harold G.; Halberstam, Heini ; et  al. (eds.). Teoría analítica de números. Actas de una conferencia en honor a Paul T. Bateman, celebrada del 25 al 27 de abril de 1989 en la Universidad de Illinois, Urbana, IL (EE. UU.) . Progress in Mathematics. Vol.  85. Boston: Birkhäuser. pp. 367–390 . ISBN  978-0-8176-3481-0. Zbl 0724.11010 .