Desigualdad lineal

Las desigualdades lineales bidimensionales son expresiones en dos variables de la forma:

${\displaystyle ax+by<c{\text{ y }}ax+by\geq c,}$

donde las desigualdades pueden ser estrictas o no. El conjunto solución de dicha desigualdad puede representarse gráficamente mediante un semiplano (todos los puntos en un "lado" de una línea fija) en el plano euclidiano . ^{[ 2 ]} La línea que determina los semiplanos ( ax + by = c ) no está incluida en el conjunto solución cuando la desigualdad es estricta. Un procedimiento simple para determinar qué semiplano está en el conjunto solución es calcular el valor de ax + by en un punto ( x ₀ , y ₀ ) que no está en la línea y observar si se satisface o no la desigualdad.

Por ejemplo, ^{[ 3 ]} para dibujar el conjunto solución de x + 3y < 9, primero se dibuja la recta con la ecuación x + 3y = 9 como una línea punteada, para indicar que la recta no está incluida en el conjunto solución ya que la desigualdad es estricta. Luego, se elige un punto conveniente que no esté en la recta, como (0,0). Como 0 + 3(0) = 0 < 9, este punto está en el conjunto solución, por lo que el semiplano que contiene este punto (el semiplano "debajo" de la recta) es el conjunto solución de esta desigualdad lineal.

En R ⁿ las desigualdades lineales son las expresiones que pueden escribirse en la forma

${\displaystyle f({\bar {x}})<b}$o${\displaystyle f({\bar {x}})\leq b,}$

donde f es una forma lineal (también llamada funcional lineal ),${\displaystyle {\bar {x}}=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$y b un número real constante .

Más concretamente, esto puede escribirse como

${\displaystyle a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}<b}$

o

${\displaystyle a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}\leq b.}$

Aquí${\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{n}}$se les llama las incógnitas y${\displaystyle a_{1},a_{2},...,a_{n}}$se denominan coeficientes.

Alternativamente, estos pueden escribirse como

${\displaystyle g(x)<0\,}$o${\displaystyle g(x)\leq 0,}$

donde g es una función afín . ^{[ 4 ]}

Eso es

${\displaystyle a_{0}+a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}<0}$

o

${\displaystyle a_{0}+a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}\leq 0.}$

Tenga en cuenta que cualquier desigualdad que contenga un signo de "mayor que" o "mayor o igual que" puede reescribirse con un signo de "menor que" o "menor o igual que", por lo que no es necesario definir las desigualdades lineales utilizando esos signos.

Un sistema de desigualdades lineales es un conjunto de desigualdades lineales en las mismas variables:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{7}a_{11}x_{1}&&\;+\;&&a_{12}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{1n}x_{n}&&\;\leq \;&&&b_{1}\\a_{21}x_{1}&&\;+\;&&a_{22}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{2n}x_{n}&&\;\leq \;&&&b_{2}\\\vdots \;\;\;&&&&\vdots \;\;\;&&&&\vdots \;\;\;&&&&&\;\vdots \\a_{m1}x_{1}&&\;+\;&&a_{m2}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{mn}x_{n}&&\;\leq \;&&&b_{m}\\\end{alignedat}}}$

Aquí${\displaystyle x_{1},\ x_{2},...,x_{n}}$son las incógnitas,${\displaystyle a_{11},\ a_{12},...,\ a_{mn}}$son los coeficientes del sistema, y${\displaystyle b_{1},\ b_{2},...,b_{m}}$son los términos constantes.

Esto se puede escribir de forma concisa como la desigualdad matricial.

${\displaystyle Ax\leq b,}$

donde A es una matriz de constantes de m × n , x es un vector columna de variables de n × 1 , b es un vector columna de constantes de m × 1 y la relación de desigualdad se entiende fila por fila.

En los sistemas mencionados anteriormente, se pueden utilizar tanto desigualdades estrictas como no estrictas.

• No todos los sistemas de desigualdades lineales tienen solución.

Las variables pueden eliminarse de sistemas de desigualdades lineales utilizando la eliminación de Fourier-Motzkin . ^{[ 5 ]}