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Articulo de referencia

Notación de construcción de conjuntos

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{norte∣∃k∈Z,norte=2k}{\displaystyle \{n\mid \exists k\in \mathbb {Z} ,n=2k\}}

— El conjunto de todos los números enteros pares , expresado en notación de construcción de conjuntos.

En matemáticas , y más específicamente en teoría de conjuntos , la notación de constructor de conjuntos es una notación para especificar un conjunto mediante una propiedad que caracteriza a sus miembros. [ 1 ]

La especificación de conjuntos mediante propiedades de sus miembros está permitida por el esquema axiomático de especificación . Esto también se conoce como comprensión de conjuntos y abstracción de conjuntos .

Conjuntos definidos por un predicado

La notación de construcción de conjuntos se puede usar para describir un conjunto definido por un predicado , es decir, una fórmula lógica que se evalúa como verdadera para un elemento del conjunto y falsa en caso contrario. [ 2 ] En esta forma, la notación de construcción de conjuntos tiene tres partes: una variable, un separador de dos puntos o barra vertical y un predicado. Así, hay una variable a la izquierda del separador y una regla a su derecha. Estas tres partes están contenidas entre llaves:

{incógnita∣Φ(incógnita)}{\displaystyle \{x\mid \Phi (x)\}}

o

{incógnita:Φ(incógnita)}.{\displaystyle \{x\colon \Phi (x)\}.}

La barra vertical (o dos puntos) es un separador que puede leerse como " tal que ", "para el cual" o "con la propiedad de que". Se dice que la fórmula Φ ( x ) es la regla o el predicado . Todos los valores de x para los cuales el predicado se cumple (es verdadero) pertenecen al conjunto que se está definiendo. Todos los valores de x para los cuales el predicado no se cumple no pertenecen al conjunto. Por lo tanto,{incógnita∣Φ(incógnita)}{\displaystyle \{x\mid \Phi (x)\}}es el conjunto de todos los valores de x que satisfacen la fórmula Φ . [ 3 ] Puede ser el conjunto vacío , si ningún valor de x satisface la fórmula.

Especificar el dominio

Un dominio E puede aparecer a la izquierda de la barra vertical: [ 4 ]

{incógnita∈mi∣Φ(incógnita)},{\displaystyle \{x\in E\mid \Phi (x)\},}

o adjuntándolo al predicado:

{incógnita∣incógnita∈mi y Φ(incógnita)}o{incógnita∣incógnita∈mi∧Φ(incógnita)}.{\displaystyle \{x\mid x\in E{\text{ and }}\Phi (x)\}\quad {\text{or}}\quad \{x\mid x\in E\land \Phi (x)\}.}

El símbolo ∈ aquí denota pertenencia al conjunto , mientras que el∧{\displaystyle \land }El símbolo denota el operador lógico "y", conocido como conjunción lógica . Esta notación representa el conjunto de todos los valores de x que pertenecen a un conjunto E dado para el cual el predicado es verdadero (véase " Axioma de existencia de conjuntos " más adelante). SiΦ(incógnita){\displaystyle \Phi (x)}es una conjunciónΦ1(incógnita)∧Φ2(incógnita){\displaystyle \Phi _{1}(x)\land \Phi _{2}(x)}, entonces{incógnita∈mi∣Φ(incógnita)}{\displaystyle \{x\in E\mid \Phi (x)\}}a veces está escrito{incógnita∈mi∣Φ1(incógnita),Φ2(incógnita)}{\displaystyle \{x\in E\mid \Phi _{1}(x),\Phi _{2}(x)\}}, usando una coma en lugar del símbolo∧{\displaystyle \land }.

En general, no es buena idea considerar conjuntos sin definir un dominio de discurso , ya que esto representaría el subconjunto de todas las cosas posibles que pueden existir para las cuales el predicado es verdadero. Esto puede conducir fácilmente a contradicciones y paradojas. Por ejemplo, la paradoja de Russell muestra que la expresión{incógnita | incógnita∉incógnita},{\displaystyle \{x~|~x\not \in x\},}Aunque aparentemente bien formada como expresión de construcción de conjuntos, no puede definir un conjunto sin producir una contradicción. [ 5 ] Cuando no se indica el dominio del discurso, entonces la notación de construcción de conjuntos{incógnita:Φ(incógnita)}{\displaystyle \{x:\Phi (x)\}}determina una clase , no necesariamente un conjunto. [ 6 ]

En los casos en que el conjunto E se deduce del contexto, puede que no sea necesario especificarlo explícitamente. Es común en la literatura que un autor indique el dominio de antemano, pero que luego no lo especifique en la notación de conjuntos. Por ejemplo, un autor podría decir algo como: «Salvo que se indique lo contrario, las variables deben considerarse números naturales», aunque en contextos menos formales donde el dominio se puede asumir, una mención escrita suele ser innecesaria.

Ejemplos

Los siguientes ejemplos ilustran conjuntos específicos definidos mediante la notación de construcción de conjuntos a través de predicados. En cada caso, el dominio se especifica en el lado izquierdo de la barra vertical, mientras que la regla se especifica en el lado derecho.

  • {incógnita∈R∣incógnita>0}{\displaystyle \{x\in \mathbb {R} \mid x>0\}}es el conjunto de todos los números reales estrictamente positivos , que se puede escribir en notación de intervalo como(0,∞){\displaystyle (0,\infty )}.
  • {incógnita∈R∣|incógnita|=1}{\displaystyle \{x\in \mathbb {R} \mid |x|=1\}}es el conjunto{−1,1}{\displaystyle \{-1,1\}}Este conjunto también puede definirse como{incógnita∈R∣incógnita2=1}{\displaystyle \{x\in \mathbb {R} \mid x^{2}=1\}}; véase a continuación cómo los predicados equivalentes producen conjuntos iguales .
  • Para cada entero m , podemos definirGRAMOmetro={incógnita∈Z∣incógnita≥metro}={metro,metro+1,metro+2,…}{\displaystyle G_{m}=\{x\in \mathbb {Z} \mid x\geq m\}=\{m,m+1,m+2,\ldots \}}. Por ejemplo,GRAMO3={incógnita∈Z∣incógnita≥3}={3,4,5,…}{\displaystyle G_{3}=\{x\in \mathbb {Z} \mid x\geq 3\}=\{3,4,5,\ldots \}}yGRAMO−2={−2,−1,0,…}{\displaystyle G_{-2}=\{-2,-1,0,\ldots \}}.
  • {(incógnita,y)∈R×R∣0<y<F(incógnita)}{\displaystyle \{(x,y)\in \mathbb {R} \times \mathbb {R} \mid 0<y<f(x)\}} es el conjunto de pares de números reales tales que y es mayor que 0 y menor que f ( x ) , para una función f dada . Aquí el producto cartesianoR×R{\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} }denota el conjunto de pares ordenados de números reales.
  • {norte∈norte∣(∃k)[k∈norte∧norte=2k]}{\displaystyle \{n\in \mathbb {N} \mid (\exists k)[k\in \mathbb {N} \land n=2k]\}}es el conjunto de todos los números naturales pares .∧{\displaystyle \land }El signo significa "y", que se conoce como conjunción lógica . El signo ∃ significa "existe", que se conoce como cuantificación existencial . Por ejemplo,(∃incógnita)PAG(incógnita){\displaystyle (\exists x)P(x)}se lee como "existe un x tal que P ( x ) ".
  • {norte∣(∃k∈norte)[norte=2k]}{\displaystyle \{n\mid (\exists k\in \mathbb {N} )[n=2k]\}}es una variante de notación para el mismo conjunto de números naturales pares. No es necesario especificar que n es un número natural, ya que esto se deduce de la fórmula de la derecha.
  • {a∈R∣(∃pag∈Z)(∃q∈Z)[q≠0∧aq=pag]}{\displaystyle \{a\in \mathbb {R} \mid (\exists p\in \mathbb {Z} )(\exists q\in \mathbb {Z} )[q\not =0\land aq=p]\}}es el conjunto de los números racionales ; es decir, los números reales que se pueden escribir como la razón de dos enteros .

Expresiones más complejas en el lado izquierdo de la notación.

Una extensión de la notación de construcción de conjuntos reemplaza la variable única x con una expresión . Entonces, en lugar de {incógnita∣Φ(incógnita)}{\displaystyle \{x\mid \Phi (x)\}}, podemos tener{F(incógnita)∣Φ(incógnita)},{\displaystyle \{f(x)\mid \Phi (x)\},}que debería leerse

{F(incógnita)∣Φ(incógnita)}={y∣∃incógnita(y=F(incógnita)∧Φ(incógnita))}{\displaystyle \{f(x)\mid \Phi (x)\}=\{y\mid \exists x(y=f(x)\wedge \Phi (x))\}}.

Por ejemplo:

  • {2norte∣norte∈norte}{\displaystyle \{2n\mid n\in \mathbb {N} \}}, dóndenorte{\displaystyle \mathbb {N} }es el conjunto de todos los números naturales, es el conjunto de todos los números naturales pares.
  • {pag/q∣pag,q∈Z,q≠0}{\displaystyle \{p/q\mid p,q\in \mathbb {Z} ,q\not =0\}}, dóndeZ{\displaystyle \mathbb {Z} }es el conjunto de todos los números enteros, esQ,{\displaystyle \mathbb {Q} ,}el conjunto de todos los números racionales.
  • {2t+1∣t∈Z}{\displaystyle \{2t+1\mid t\in \mathbb {Z} \}}es el conjunto de los números enteros impares.
  • {(t,2t+1)∣t∈Z}{\displaystyle \{(t,2t+1)\mid t\in \mathbb {Z} \}} crea un conjunto de pares, donde cada par pone un número entero en correspondencia con un número entero impar.

Cuando las funciones inversas se pueden expresar explícitamente, la expresión de la izquierda se puede eliminar mediante una simple sustitución. Consideremos el siguiente conjunto de ejemplos.{2t+1∣t∈Z}{\displaystyle \{2t+1\mid t\in \mathbb {Z} \}}Realizar la sustitucióntú=2t+1{\displaystyle u=2t+1}, es decirt=(tú−1)/2{\displaystyle t=(u-1)/2}, luego reemplace t en la notación del constructor de conjuntos para encontrar

{2t+1∣t∈Z}={tú∣(tú−1)/2∈Z}.{\displaystyle \{2t+1\mid t\in \mathbb {Z} \}=\{u\mid (u-1)/2\in \mathbb {Z} \}.}

Los predicados equivalentes producen conjuntos iguales.

Dos conjuntos son iguales si y solo si tienen los mismos elementos. Los conjuntos definidos por la notación de construcción de conjuntos son iguales si y solo si sus reglas de construcción de conjuntos, incluidos los especificadores de dominio, son equivalentes. Es decir,

{incógnita∈A∣PAG(incógnita)}={incógnita∈B∣Q(incógnita)}{\displaystyle \{x\in A\mid P(x)\}=\{x\in B\mid Q(x)\}}

si y solo si

(∀t)[(t∈A∧PAG(t))⇔(t∈B∧Q(t))]{\displaystyle (\forall t)[(t\in A\land P(t))\Leftrightarrow (t\in B\land Q(t))]}.

Por lo tanto, para demostrar la igualdad de dos conjuntos definidos mediante la notación de construcción de conjuntos, basta con demostrar la equivalencia de sus predicados, incluidos los calificadores de dominio.

Por ejemplo,

{incógnita∈R∣incógnita2=1}={incógnita∈Q∣|incógnita|=1}{\displaystyle \{x\in \mathbb {R} \mid x^{2}=1\}=\{x\in \mathbb {Q} \mid |x|=1\}}

porque los dos predicados de la regla son lógicamente equivalentes:

(incógnita∈R∧incógnita2=1)⇔(incógnita∈Q∧|incógnita|=1).{\displaystyle (x\in \mathbb {R} \land x^{2}=1)\Leftrightarrow (x\in \mathbb {Q} \land |x|=1).}

Esta equivalencia se cumple porque, para cualquier número real x , tenemosincógnita2=1{\displaystyle x^{2}=1}si y solo si x es un número racional con|incógnita|=1{\displaystyle |x|=1}. En particular, ambos conjuntos son iguales al conjunto{−1,1}{\displaystyle \{-1,1\}}.

axioma de existencia de conjuntos

En muchas teorías formales de conjuntos, como la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel , la notación de construcción de conjuntos no forma parte de la sintaxis formal de la teoría. En su lugar, existe un esquema de axioma de existencia de conjuntos , que establece que si E es un conjunto y Φ( x ) es una fórmula en el lenguaje de la teoría de conjuntos, entonces existe un conjunto Y cuyos miembros son exactamente los elementos de E que satisfacen Φ :

(∀mi)(∃Y)(∀incógnita)[incógnita∈Y⇔incógnita∈mi∧Φ(incógnita)].{\displaystyle (\forall E)(\exists Y)(\forall x)[x\in Y\Leftrightarrow x\in E\land \Phi (x)].}

El conjunto Y obtenido a partir de este axioma es exactamente el conjunto descrito en notación de construcción de conjuntos como{incógnita∈mi∣Φ(incógnita)}{\displaystyle \{x\in E\mid \Phi (x)\}}.

En lenguajes de programación

Una notación similar disponible en varios lenguajes de programación (en particular Python y Haskell ) es la comprensión de listas , que combina operaciones de mapeo y filtrado sobre una o más listas .

En Python, las llaves del constructor de conjuntos se reemplazan por corchetes, paréntesis o llaves, dando lugar a objetos de lista, generador y conjunto, respectivamente. Python utiliza una sintaxis basada en el inglés. Haskell reemplaza las llaves del constructor de conjuntos por corchetes y utiliza símbolos, incluida la barra vertical estándar del constructor de conjuntos.

Lo mismo se puede lograr en Scala usando comprensiones de secuencia, donde la palabra clave "for" devuelve una lista de las variables generadas usando la palabra clave "yield". [ 7 ]

Consideremos estos ejemplos de notación de conjuntos en algunos lenguajes de programación:

La notación de construcción de conjuntos y la notación de comprensión de listas son ambas instancias de una notación más general conocida como comprensiones de mónadas , que permite operaciones tipo mapeo/filtro sobre cualquier mónada con un elemento cero .

Véase también

Notas

  1. ↑ Rosen, Kenneth (2007). Matemáticas discretas y sus aplicaciones (6.ª  ed.). Nueva York, NY: McGraw-Hill. págs. 111–112 . ISBN  978-0-07-288008-3.
  2. ↑ Michael J Cullinan, 2012, A Transition to Mathematics with Proofs , Jones & Bartlett, pp. 44 y ss.
  3. ↑ Weisstein, Eric W. "Set" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 20 de agosto de 2020 .
  4. ↑ "Notación de conjuntos" . mathsisfun.com . Consultado el 20 de agosto de 2020 .
  5. ↑ Irvine, Andrew David; Deutsch, Harry (9 de octubre de 2016) [1995]. "La paradoja de Russell" . Enciclopedia de filosofía de Stanford . Consultado el 6 de agosto de 2017 .
  6. ↑ Richard S. Pierce (1968) Introducción a la teoría de las álgebras abstractas , página 2
  7. ↑ "Comprensiones de secuencias" . Scala . Consultado el 6 de agosto de 2017 .
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