Las conjeturas de multiplicidad de Serre

En matemáticas , las conjeturas de multiplicidad de Serre , que llevan el nombre de Jean-Pierre Serre , son ciertos problemas del álgebra conmutativa , motivados por las necesidades de la geometría algebraica . Desde la definición inicial de números de intersección de André Weil , alrededor de 1949, se había planteado la cuestión de cómo proporcionar una teoría más flexible y computable, un problema que Serre intentó resolver. En 1958, Serre se dio cuenta de que las ideas clásicas de multiplicidad en geometría algebraica podían generalizarse utilizando los conceptos del álgebra homológica .

Sea R un anillo local regular , conmutativo y noetheriano , y sean P y Q ideales primos de R. Serre definió la multiplicidad de intersección de R / P y R / Q mediante sus functores Tor . A continuación,${\displaystyle \ell _{R}(M)}$indica la longitud del módulo${\displaystyle M}$y asumimos para el resto del artículo que

${\displaystyle \ell _{R}((R/P)\otimes _{R}(R/Q))<\infty .}$

Serre definió la multiplicidad de intersección de R / P y R / Q mediante la fórmula tipo característica de Euler :

${\displaystyle \chi (R/P,R/Q):=\sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{i}\ell _{R}(\operatorname {Tor} _{i}^{R}(R/P,R/Q)).}$

Para que esta definición proporcione una buena generalización de la multiplicidad de intersección clásica, se requeriría que ciertas relaciones clásicas se mantuvieran. Serre destacó cuatro propiedades importantes, que se convirtieron en las conjeturas de multiplicidad y cuya demostración en el caso general resulta compleja. (Los enunciados de estas conjeturas pueden generalizarse reemplazando R / P y R / Q por módulos finitamente generados arbitrarios: véase el libro Álgebra Local de Serre para más detalles).

${\displaystyle \dim(R/P)+\dim(R/Q)\leq \dim(R)}$

Serre demostró esto para todos los anillos locales regulares. Estableció las siguientes tres propiedades cuando R es de característica igual o de característica mixta y no ramificado (lo que en este caso significa que la característica del cuerpo residual no es un elemento del cuadrado del ideal máximo del anillo local), y conjeturó que se cumplen en general.

${\displaystyle \chi (R/P,R/Q)\geq 0}$

Esto fue demostrado por Ofer Gabber en 1995.

Si

${\displaystyle \dim(R/P)+\dim(R/Q)<\dim(R)\ }$

entonces

${\displaystyle \chi (R/P,R/Q)=0.\ }$

Esto fue demostrado en 1985 por Paul C. Roberts , e independientemente por Henri Gillet y Christophe Soulé .

Si

${\displaystyle \dim(R/P)+\dim(R/Q)=\dim(R)\ }$

entonces

${\displaystyle \chi (R/P,R/Q)>0.\ }$

Esto permanece abierto.

• Conjeturas homológicas en álgebra conmutativa

• Serre, Jean-Pierre (2000), Álgebra local , Monografías de Springer en Matemáticas, Berlín: Springer, pp. 106–110 , doi : 10.1007/978-3-662-04203-8 , ISBN  978-3-642-08590-1, MR 1771925 
• Roberts, Paul (1985), "La desaparición de las multiplicidades de intersección de complejos perfectos", Boletín de la Sociedad Matemática Americana , 13 (2), Bull. Amer. Math. Soc. 13, n.º 2: 127–130 , doi : 10.1090/S0273-0979-1985-15394-7 , MR 0799793 
• Roberts, Paul (1998), Desarrollos recientes sobre las conjeturas de multiplicidad de Serre: la demostración de Gabber de la conjetura de no negatividad , L' Enseign. Math. (2) 44, n.º 3-4, págs. 305–324 , MR 1659224  
• Berthelot, Pierre (1997), Altérations de variétés algébriques (d'après AJ de Jong) , Séminaire Bourbaki, vol. 1995/96, Astérisque nº 241, págs. 273–311 , MR 1472543  
• Gillet, H.; Soulé, C. (1987), "Teoría de la intersección utilizando operaciones de Adams.", Inventiones Mathematicae , 90 (2), Invent. Math. 90, n.º 2: 243–277 , Bibcode : 1987InMat..90..243G , doi : 10.1007/BF01388705 , MR 0910201 , S2CID 120635826  
• Gabber, O. (1995), No negatividad de las multiplicidades de intersección de Serre , Exposé à L'IHES