Separoide

En matemáticas , un separoide es una relación binaria entre conjuntos disjuntos que es estable como un ideal en el orden canónico inducido por la inclusión . Muchos objetos matemáticos que parecen ser bastante diferentes encuentran una generalización común en el marco de los separoides; por ejemplo, grafos , configuraciones de conjuntos convexos , matroides orientados y politopos . Cualquier categoría numerable es una subcategoría inducida de separoides cuando se les dota de homomorfismos ^{[ 1 ]} (es decir, aplicaciones que preservan las llamadas particiones mínimas de Radon ).

En este marco general, algunos resultados e invariantes de diferentes categorías resultan ser casos especiales del mismo aspecto; por ejemplo, el número pseudoacromático de la teoría de grafos y el teorema de Tverberg de la convexidad combinatoria son simplemente dos caras del mismo aspecto, a saber, la coloración completa de los separoides.

Un separoide ^{[ 2 ]} es un conjunto${\displaystyle S}$dotado de una relación binaria${\displaystyle \mid \ \subseteq 2^{S}\times 2^{S}}$en su conjunto potencia , que satisface las siguientes propiedades simples para${\displaystyle A,B\subseteq S}$:

${\displaystyle A\mid B\Leftrightarrow B\mid A,}$

${\displaystyle A\mid B\Rightarrow A\cap B=\varnothing ,}$

${\displaystyle A\mid B{\hbox{ y }}A'\subset A\Rightarrow A'\mid B.}$

Un par relacionado${\displaystyle A\mid B}$Se denomina separación y solemos decir que A está separado de B. Basta con conocer las separaciones máximas para reconstruir el separoide.

Un mapeo${\displaystyle \varphi \colon S\to T}$es un morfismo de separoides si las preimágenes de separaciones son separaciones; es decir, para${\displaystyle A,B\subseteq T}$

${\displaystyle A\mid B\Rightarrow \varphi ^{-1}(A)\mid \varphi ^{-1}(B).}$

Ejemplos de separoides se pueden encontrar en casi todas las ramas de las matemáticas . ^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]} Aquí enumeramos solo algunos.

1. Dado un grafo G=(V,E), podemos definir un separoide en sus vértices diciendo que dos subconjuntos (disjuntos) de V, digamos A y B, están separados si no hay aristas que vayan de uno al otro; es decir,

${\displaystyle A\mid B\Leftrightarrow \forall a\in A{\hbox{ y }}b\in B\colon ab\not \in E.}$

2. Dado un matroide orientado ^{[ 5 ]} M = ( E , T ), dado en términos de sus topos T , podemos definir un separoide en E diciendo que dos subconjuntos están separados si están contenidos en signos opuestos de un topo. En otras palabras, los topos de un matroide orientado son las separaciones máximas de un separoide. Este ejemplo incluye, por supuesto, todos los grafos dirigidos .

3. Dada una familia de objetos en un espacio euclidiano , podemos definir un separoide en él diciendo que dos subconjuntos están separados si existe un hiperplano que los separa ; es decir, dejándolos en los dos lados opuestos del mismo.

4. Dado un espacio topológico , podemos definir un separoide diciendo que dos subconjuntos están separados si existen dos conjuntos abiertos disjuntos que los contienen (uno para cada uno de ellos).

Cada separoide puede representarse mediante una familia de conjuntos convexos en algún espacio euclidiano y sus separaciones mediante hiperplanos.

• Strausz, Ricardo (1998). "Separoides". Situs, Serie B, nº 5 . Universidad Nacional Autónoma de México.
• Montellano-Ballesteros, Juan José; Por, Atila; Strausz, Ricardo (2006). "Teoremas de tipo Tverberg para separoides" . Geometría Discreta y Computacional . 35 (3): 513– 523. doi : 10.1007/s00454-005-1229-4 .
• Bracho, Javier; Strausz, Ricardo (2006). "Dos representaciones geométricas de separoides" . Periodica Mathematica Hungarica . 53 ( 1–2 ): 115–120 . doi : 10.1007/s10998-006-0025-0 .
• Strausz, Ricardo (2008). "Teoremas de tipo 'final feliz' de Erdös-Szekeres para separaides" . Revista europea de combinatoria . 29 (4): 1076– 1085. doi : 10.1016/j.ejc.2007.11.011 .