Mapa bilineal

Dejar${\displaystyle V,W}$y${\displaystyle X}$Sean tres espacios vectoriales sobre el mismo campo base.${\displaystyle F}$. Un mapeo bilineal es una función$${\displaystyle B:V\times W\to X}$$ de tal manera que para todos${\displaystyle w\in W}$, el mapa${\displaystyle B_{w}}$$${\displaystyle v\mapsto B(v,w)}$$ es un mapa lineal de${\displaystyle V}$a${\displaystyle X,}$y para todos${\displaystyle v\in V}$, el mapa${\displaystyle B_{v}}$$${\displaystyle w\mapsto B(v,w)}$$ es un mapa lineal de${\displaystyle W}$a${\displaystyle X.}$En otras palabras, cuando mantenemos fija la segunda entrada del mapa bilineal mientras dejamos variar la primera entrada, obtenemos${\displaystyle B_{w}}$, el resultado es un operador lineal, y de forma similar cuando mantenemos fija la primera entrada.

Un mapa como ese${\displaystyle B}$Satisface las siguientes propiedades.

• Para cualquier${\displaystyle \lambda \in F}$,${\displaystyle B(\lambda v,w)=B(v,\lambda w)=\lambda B(v,w).}$
• El mapa${\displaystyle B}$es aditivo en ambos componentes: si${\displaystyle v_{1},v_{2}\en V}$y${\displaystyle w_{1},w_{2}\en W,}$entonces${\displaystyle B(v_{1}+v_{2},w)=B(v_{1},w)+B(v_{2},w)}$y${\displaystyle B(v,w_{1}+w_{2})=B(v,w_{1})+B(v,w_{2}).}$

Si${\displaystyle V=W}$y tenemos B ( v , w ) = B ( w , v ) para todo${\displaystyle v,w\in V,}$Entonces decimos que B es simétrico . Si X es el cuerpo base F , entonces el mapa se llama forma bilineal , las cuales están bien estudiadas (por ejemplo: producto escalar , producto interno y forma cuadrática ).

La definición funciona sin cambios si, en lugar de espacios vectoriales sobre un cuerpo F , usamos módulos sobre un anillo conmutativo R. Se generaliza a funciones n -arias, donde el término propio es multilineal .

Para anillos no conmutativos R y S , un R- módulo izquierdo M y un S -módulo derecho N , una aplicación bilineal es una aplicación B  : M × N → T con T un ( R , S ) -bimódulo , y para la cual cualquier n en N , m ↦ B ( m , n ) es un homomorfismo de R -módulos, y para cualquier m en M , n ↦ B ( m , n ) es un homomorfismo de S -módulos. Esto satisface

B ( r ⋅ m , n ) = r ⋅ B ( m , n )

B ( m , n ⋅ s ) = B ( m , n ) ⋅ s

para todo m en M , n en N , r en R y s en S , así como B siendo aditivo en cada argumento.

Muchas aplicaciones bilineales que se presentan en la práctica son continuas por separado, pero no todas lo son. Aquí enumeramos las condiciones suficientes para que una aplicación bilineal continua por separado sea continua.

• Si X es un espacio de Baire e Y es metrizable , entonces toda aplicación bilineal continua por separado${\displaystyle b:X\times Y\to Z}$es continuo. ^{[ 1 ]}
• Si${\displaystyle X,Y,{\text{ and }}Z}$Si son los duales fuertes de los espacios de Fréchet , entonces cada aplicación bilineal continua por separado${\displaystyle b:X\times Y\to Z}$es continuo. ^{[ 1 ]}
• Si una aplicación bilineal es continua en (0, 0), entonces es continua en todas partes. ^{[ 2 ]}

Dejar${\displaystyle X,Y,{\text{ and }}Z}$sean espacios de Hausdorff localmente convexos y sea${\displaystyle C:L(X;Y)\times L(Y;Z)\to L(X;Z)}$sea ​​el mapa de composición definido por${\displaystyle C(u,v):=v\circ u.}$ En general, el mapa bilineal${\displaystyle C}$no es continuo (independientemente de las topologías que se les den a los espacios de aplicaciones lineales). Sin embargo, tenemos los siguientes resultados:

Asigne a los tres espacios de aplicaciones lineales una de las siguientes topologías:

1. a los tres se les asigna la topología de convergencia acotada;
2. asignar a los tres la topología de convergencia compacta ;
3. asignar a los tres la topología de convergencia puntual .

• Si${\displaystyle E}$es un subconjunto equicontinuo de${\displaystyle L(Y;Z)}$entonces la restricción${\displaystyle C{\big \vert }_{L(X;Y)\times E}:L(X;Y)\times E\to L(X;Z)}$es continua para las tres topologías. ^{[ 1 ]}
• Si${\displaystyle Y}$es un espacio en forma de barril entonces para cada secuencia${\displaystyle \left(u_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$convergiendo a${\displaystyle u}$en${\displaystyle L(X;Y)}$y cada secuencia${\displaystyle \left(v_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$convergiendo a${\displaystyle v}$en${\displaystyle L(Y;Z),}$la secuencia${\displaystyle \left(v_{i}\circ u_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$converge a${\displaystyle v\circ u}$en${\displaystyle L(Y;Z).}$^{[ 1 ]}