Sensibilidad (sistemas de control)

La función de transferencia de lazo cerrado viene dada por

${\displaystyle T(s)={\frac {G(s)C(s)}{1+G(s)C(s)}}.}$

Diferenciando${\displaystyle T}$con respecto a${\displaystyle G}$rendimientos

${\displaystyle {\frac {dT}{dG}}={\frac {d}{dG}}\left[{\frac {GC}{1+GC}}\right]={\frac {C}{(1+CG)^{2}}}=S{\frac {T}{G}},}$

dónde${\displaystyle S}$se define como la función

${\displaystyle S(s)={\frac {1}{1+G(s)C(s)}}}$

y se conoce como la función de sensibilidad . Valores más bajos de${\displaystyle |S|}$Esto implica que los errores relativos en los parámetros de la planta tienen menos efectos en el error relativo de la función de transferencia de lazo cerrado.

La función de sensibilidad también describe la función de transferencia desde la perturbación externa a la salida del proceso. De hecho, suponiendo una perturbación aditiva n después de la salida

de la planta, las funciones de transferencia del sistema de lazo cerrado vienen dadas por

${\displaystyle Y(s)={\frac {C(s)G(s)}{1+C(s)G(s)}}R(s)+{\frac {1}{1+C(s)G(s)}}N(s).}$

Por lo tanto, valores más bajos de${\displaystyle |S|}$sugieren una mayor atenuación de la perturbación externa. La función de sensibilidad nos indica cómo las perturbaciones se ven influenciadas por la retroalimentación. Perturbaciones con frecuencias tales que${\displaystyle |S(j\omega )|}$es menor que uno se reducen en una cantidad igual a la distancia al punto crítico${\displaystyle -1}$y perturbaciones con frecuencias tales que${\displaystyle |S(j\omega )|}$es mayor que uno se amplifica por la retroalimentación. ^{[ 1 ]}

Es importante que el valor máximo de la función de sensibilidad esté limitado para un sistema de control. El pico de sensibilidad nominal${\displaystyle M_{s}}$se define como ^{[ 2 ]}

${\displaystyle M_{s}=\max _{0\leq \omega <\infty }\left|S(j\omega )\right|=\max _{0\leq \omega <\infty }\left|{\frac {1}{1+G(j\omega )C(j\omega )}}\right|}$

y es común exigir que el valor máximo de la función de sensibilidad,${\displaystyle M_{s}}$, estar en un rango de 1,3 a 2.

La cantidad${\displaystyle M_{s}}$es el inverso de la distancia más corta desde la curva de Nyquist de la función de transferencia de bucle hasta el punto crítico.${\displaystyle -1}$Una sensibilidad${\displaystyle M_{s}}$garantiza que la distancia desde el punto crítico a la curva de Nyquist siempre es mayor que${\displaystyle {\frac {1}{M_{s}}}}$y la curva de Nyquist de la función de transferencia de bucle siempre está fuera de un círculo alrededor del punto crítico.${\displaystyle -1+0j}$con el radio${\displaystyle {\frac {1}{M_{s}}}}$, conocido como el círculo de sensibilidad .${\displaystyle M_{s}}$define el valor máximo de la función de sensibilidad y el inverso de${\displaystyle M_{s}}$te da la distancia más corta desde la función de transferencia de lazo abierto${\displaystyle L(j\omega )}$hasta el punto crítico${\displaystyle -1+0j}$. ^{[ 3 ] [ 4 ]}