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variedad pseudoriemanniana

En física matemática , una variedad pseudoriemanniana , [ 1 ] [ 2 ] también llamada variedad semiriemanniana , es una variedad diferenciable con un tensor métrico no degenerado ...

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En física matemática , una variedad pseudoriemanniana , [ 1 ] [ 2 ] también llamada variedad semiriemanniana , es una variedad diferenciable con un tensor métrico no degenerado en todas partes . Esta es una generalización de una variedad riemanniana en la que se relaja el requisito de positividad definida .

Todo espacio tangente de una variedad pseudoriemanniana es un espacio vectorial pseudoeuclidiano .

Un caso especial utilizado en la relatividad general es una variedad lorentziana de cuatro dimensiones para modelar el espaciotiempo , donde los vectores tangentes se pueden clasificar como de tipo temporal, nulos y de tipo espacial .

Introducción

Colectores

En geometría diferencial , una variedad diferenciable es un espacio localmente similar a un espacio euclidiano . En un espacio euclidiano n- dimensional, cualquier punto puede especificarse mediante n números reales. Estos se denominan coordenadas del punto.

Una variedad diferenciable n -dimensional es una generalización del espacio euclidiano n- dimensional. En una variedad, es posible que solo se puedan definir coordenadas localmente . Esto se logra definiendo parches de coordenadas : subconjuntos de la variedad que pueden mapearse al espacio euclidiano n -dimensional.

Consulte Variedad , Variedad diferenciable y Parche de coordenadas para obtener más detalles.

Espacios tangentes y tensores métricos

Asociado a cada puntopag{\displaystyle p}en unnorte{\displaystyle n}variedad diferenciable de dimensiónMETRO{\displaystyle M}es un espacio tangente (denotadoTpagMETRO{\displaystyle T_{p}M}). Esto es unnorte{\displaystyle n}espacio vectorial de dimensión cuyos elementos pueden considerarse como clases de equivalencia de curvas que pasan por el puntopag{\displaystyle p}.

Un tensor métrico es una aplicación bilineal , simétrica, suave y no degenerada que asigna un número real a pares de vectores tangentes en cada espacio tangente de la variedad. Denotamos el tensor métrico porgramo{\displaystyle g}podemos expresar esto como

gramo:TpagMETRO×TpagMETRO→R.{\displaystyle g:T_{p}M\times T_{p}M\to \mathbb {R} .}

El mapa es simétrico y bilineal, por lo que siincógnita,Y,Z∈TpagMETRO{\displaystyle X,Y,Z\in T_{p}M}son vectores tangentes en un puntopag{\displaystyle p}al colectorMETRO{\displaystyle M}entonces tenemos

  • gramo(incógnita,Y)=gramo(Y,incógnita){\displaystyle \,g(X,Y)=g(Y,X)}
  • gramo(aincógnita+Y,Z)=agramo(incógnita,Z)+gramo(Y,Z){\displaystyle \,g(aX+Y,Z)=ag(X,Z)+g(Y,Z)}

para cualquier número reala∈R{\displaystyle a\in \mathbb {R} }.

Esogramo{\displaystyle g}es no degenerado significa que no hay ningún valor distinto de ceroincógnita∈TpagMETRO{\displaystyle X\in T_{p}M}de tal manera quegramo(incógnita,Y)=0{\displaystyle g(X,Y)=0}a pesar deY∈TpagMETRO{\displaystyle Y\in T_{p}M}.

firmas métricas

Dado un tensor métrico g en una variedad real n -dimensional, la forma cuadrática q ( x ) = g ( x , x ) asociada con el tensor métrico aplicada a cada vector de cualquier base ortogonal produce n valores reales. Por la ley de inercia de Sylvester , el número de valores positivos, negativos y cero producidos de esta manera son invariantes del tensor métrico, independientemente de la elección de la base ortogonal. La signatura ( p , q , r ) del tensor métrico da estos números, mostrados en el mismo orden. Un tensor métrico no degenerado tiene r = 0 y la signatura puede denotarse como ( p , q ) , donde p + q = n .

Definición

Una variedad pseudoriemanniana ( M , g ) es una variedad diferenciable M que está equipada con un tensor métrico g suave, simétrico y no degenerado en todas partes .

Dicha métrica se denomina métrica pseudoriemanniana . Aplicada a un campo vectorial, el valor del campo escalar resultante en cualquier punto de la variedad puede ser positivo, negativo o cero.

La signatura de una métrica pseudoriemanniana es ( p , q ) , donde tanto p como q son no negativos. La condición de no degeneración, junto con la continuidad, implica que p y q permanecen invariables en toda la variedad (suponiendo que sea conexa).

variedad lorentziana

Una variedad lorentziana es un caso especial importante de una variedad pseudoriemanniana en la que la signatura de la métrica es (1, n −1) (o equivalentemente, ( n −1, 1) ; véase Convención de signos ). Estas métricas se denominan métricas lorentzianas y reciben su nombre del físico neerlandés Hendrik Lorentz .

Aplicaciones en física

Después de las variedades riemannianas, las variedades lorentzianas forman la subclase más importante de variedades pseudoriemannianas. Son importantes en las aplicaciones de la relatividad general .

Una premisa fundamental de la relatividad general es que el espaciotiempo puede modelarse como una variedad lorentziana de 4 dimensiones con signatura (3, 1) o, equivalentemente, (1, 3) . A diferencia de las variedades riemannianas con métricas definidas positivas, una signatura indefinida permite clasificar los vectores tangentes en temporales , nulos o espaciales . Con una signatura de ( p , 1) o (1, q ) , la variedad también es localmente (y posiblemente globalmente) orientable en el tiempo (véase Estructura causal ).

Propiedades de las variedades pseudoriemannianas

Al igual que el espacio euclidianoRnorte{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}puede considerarse como el modelo local de una variedad riemanniana , espacio de MinkowskiRnorte−1,1{\displaystyle \mathbb {R} ^{n-1,1}}con la métrica plana de Minkowski es el modelo local de una variedad lorentziana. De igual modo, el espacio modelo para una variedad pseudoriemanniana de signatura ( p , q ) es un espacio pseudoeuclidiano.Rpag,q{\displaystyle \mathbb {R} ^{p,q}}, para los cuales existen coordenadas x i tales que

gramo=dincógnita12+⋯+dincógnitapag2−dincógnitapag+12−⋯−dincógnitapag+q2{\displaystyle g=dx_{1}^{2}+\cdots +dx_{p}^{2}-dx_{p+1}^{2}-\cdots -dx_{p+q}^{2}}

Algunos teoremas de la geometría riemanniana pueden generalizarse al caso pseudoriemanniano. En particular, el teorema fundamental de la geometría riemanniana es válido para todas las variedades pseudoriemannianas. Esto permite hablar de la conexión de Levi-Civita en una variedad pseudoriemanniana junto con el tensor de curvatura asociado . Por otro lado, hay muchos teoremas en geometría riemanniana que no se cumplen en el caso generalizado. Por ejemplo, no es cierto que toda variedad diferenciable admita una métrica pseudoriemanniana de una signatura dada; existen ciertas obstrucciones topológicas . Además, una subvariedad no siempre hereda la estructura de una variedad pseudoriemanniana; por ejemplo, el tensor métrico se anula en cualquier curva de tipo luz . El toro de Clifton-Pohl proporciona un ejemplo de una variedad pseudoriemanniana que es compacta pero no completa, una combinación de propiedades que el teorema de Hopf-Rinow no permite para las variedades riemannianas. [ 3 ]

Véase también

Notas

Referencias

  • Benn, IM; Tucker, RW (1987), Introducción a los espinores y la geometría con aplicaciones en física (  Edición publicada por primera vez en 1987), Adam Hilger, ISBN 0-85274-169-3
  • Bishop, Richard L.; Goldberg, Samuel I. (1968), Análisis tensorial en variedades (Primera  edición de Dover, 1980), The Macmillan Company, ISBN 0-486-64039-6
  • Chen, Bang-Yen (2011), Geometría pseudoriemanniana, invariantes [delta] y aplicaciones , World Scientific Publisher, ISBN 978-981-4329-63-7
  • O'Neill, Barrett (1983), Geometría semiriemanniana con aplicaciones a la relatividad , Matemáticas puras y aplicadas, vol.  103, Academic Press, ISBN 9780080570570
  • Vrănceanu, G.; Roşca, R. (1976), Introducción a la relatividad y la geometría pseudoriemanniana , Bucarest: Editura Academiei Republicii Socialiste România
  • Logotipo de Wikimedia CommonsContenido multimedia relacionado con las variedades lorentzianas en Wikimedia Commons.