Secretaria de Maclaurin

En geometría , una sectrix de Maclaurin se define como la curva trazada por el punto de intersección de dos líneas que giran a velocidades constantes alrededor de diferentes puntos llamados polos . De forma equivalente, una sectrix de Maclaurin puede definirse como una curva cuya ecuación en coordenadas biangulares es lineal. El nombre deriva de la trisectrix de Maclaurin (llamada así en honor a Colin Maclaurin ), un miembro destacado de esta familia, y de su propiedad de sectrix , que permite dividir un ángulo en un número determinado de partes iguales. Sin embargo, a diferencia de una curva sectrix propiamente dicha, no existe una única curva de esta familia que pueda dividir ángulos en un número arbitrario de partes; en cambio, se requieren diferentes velocidades de rotación para obtener diferentes números de partes. Existen casos especiales conocidos como arácnidos o araneidanes debido a su forma arácnida , y las curvas de Plateau, en honor a Joseph Plateau , quien las estudió.

Se nos dan dos líneas que giran alrededor de dos polos.${\displaystyle P}$y${\displaystyle P_{1}}$Mediante traslación y rotación podemos suponer${\displaystyle P=(0,0)}$y${\displaystyle P_{1}=(a,0)}$En ese momento${\displaystyle t}$, la línea girando alrededor${\displaystyle P}$tiene ángulo${\displaystyle \theta =\kappa t+\alpha }$y la línea girando alrededor${\displaystyle P_{1}}$tiene ángulo${\displaystyle \theta _{1}=\kappa _{1}t+\alpha _{1}}$, dónde${\displaystyle \kappa }$,${\displaystyle \alpha }$,${\displaystyle \kappa _{1}}$y${\displaystyle \alpha _{1}}$son constantes. Eliminar${\displaystyle t}$Llegar ${\displaystyle \theta _{1}=q\theta +\theta _{0}}$dónde${\displaystyle q=\kappa _{1}/\kappa }$y${\displaystyle \theta _ {0}=\alpha _ {1}-q\alpha}$Suponemos que${\displaystyle q}$es racional, de lo contrario la curva no es algebraica y es densa en el plano. Sea${\displaystyle Q}$Sea el punto de intersección de las dos líneas y sea${\displaystyle \psi }$sea ​​el ángulo en${\displaystyle Q}$, entonces${\displaystyle \psi =\theta _ {1}-\theta}$. Si${\displaystyle r}$es la distancia desde${\displaystyle P}$a${\displaystyle Q}$entonces, por la ley de los senos ,

${\displaystyle {r \over \sin \theta _{1}}={a \over \sin \psi }\!}$

entonces

${\displaystyle r=a{\frac {\sin \theta _{1}}{\sin \psi }}=a{\frac {\sin[q\theta +\theta _{0}]}{\sin[(q-1)\theta +\theta _{0}]}}\!}$

es la ecuación en coordenadas polares .

El caso${\displaystyle \theta _{0}=0}$y${\displaystyle q=n}$dónde${\displaystyle n}$es un número entero mayor que 2 da curvas arácnidas o aráneidas

${\displaystyle r=a{\frac {\sin n\theta }{\sin(n-1)\theta }}\!}$

El caso${\displaystyle \theta _{0}=0}$y${\displaystyle q=-n}$dónde${\displaystyle n}$es un número entero mayor que 1 da formas alternativas de curvas arácnidas o araneidan

${\displaystyle r=a{\frac {\sin n\theta }{\sin(n+1)\theta }}\!}$

Una derivación similar a la anterior da como resultado:

${\displaystyle r_{1}=(-a){\frac {\sin[(1/q)\theta _{1}-\theta _{0}/q]}{\sin[(1/q-1)\theta _{1}-\theta _{0}/q]}}\!}$

como la ecuación polar (en${\displaystyle r_{1}}$y${\displaystyle \theta _{1}}$) si el origen se desplaza hacia la derecha por${\displaystyle a}$Nótese que esta es la ecuación anterior con un cambio de parámetros; esto es de esperar dado que dos polos son intercambiables en la construcción de la curva.

Dejar${\displaystyle q=m/n}$dónde${\displaystyle m}$y${\displaystyle n}$son enteros y la fracción está en su mínima expresión . En la notación de la sección anterior, tenemos ${\displaystyle \theta _{1}=q\theta +\theta _{0}}$o ${\displaystyle n\theta _{1}=m\theta +n\theta _{0}}$. Si${\displaystyle z=x+iy}$entonces${\displaystyle \theta =\arg(z),\ \theta _ {1}=\arg(za)}$, por lo que la ecuación se convierte en ${\displaystyle n\ \arg(za)=m\ \arg(z)+n\ \theta _ {0}}$o ${\displaystyle m\ \arg(z)-n\ \arg(za)=\arg(z^{m}(za)^{-n})=const}$Esto también se puede escribir

${\displaystyle {\frac {\operatorname {Re} (z^{m}(za)^{-n})}{\operatorname {Im} (z^{m}(za)^{-n})}}=const.}$

a partir de la cual es relativamente sencillo derivar la ecuación cartesiana dados m y n. La función ${\displaystyle w=z^{m}(za)^{-n}}$es analítico, por lo que las trayectorias ortogonales de la familia${\displaystyle arg(w)=const.}$son las curvas${\displaystyle |w|=const}$, o ${\displaystyle {\frac {|z|^{m}}{|za|^{n}}}=const.}$

Dejar${\displaystyle q=m/n}$dónde${\displaystyle m}$y${\displaystyle n}$son enteros, y sea${\displaystyle \theta =np}$dónde${\displaystyle p}$es un parámetro. Luego, al convertir la ecuación polar anterior en ecuaciones paramétricas se obtiene

${\displaystyle x=a{\frac {\sin[mp+\theta _{0}]\cos np}{\sin[(m-n)p+\theta _{0}]}},y=a{\frac {\sin[mp+\theta _{0}]\sin np}{\sin[(m-n)p+\theta _{0}]}}\!}$.

Aplicando la regla de suma de ángulos para el seno se obtiene

${\displaystyle x=a{\frac {\sin[mp+\theta _{0}]\cos np}{\sin[(m-n)p+\theta _{0}]}}=a+a{\frac {\cos[mp+\theta _{0}]\sin np}{\sin[(m-n)p+\theta _{0}]}}={a \over 2}+{a \over 2}{\frac {\sin[(m+n)p+\theta _{0}]}{\sin[(m-n)p+\theta _{0}]}}\!}$.

Entonces, si el origen se desplaza hacia la derecha por${\displaystyle a/2}$entonces las ecuaciones paramétricas son

${\displaystyle x={a \over 2}\cdot {\frac {\sin[(m+n)p+\theta _{0}]}{\sin[(m-n)p+\theta _{0}]}},y=a{\frac {\sin[mp+\theta _{0}]\sin np}{\sin[(m-n)p+\theta _{0}]}}\!}$.

Estas son las ecuaciones para las curvas de meseta cuando${\displaystyle \theta _{0}=0}$, o

${\displaystyle x={a \over 2}{\frac {\sin(m+n)p}{\sin(m-n)p}},y=a{\frac {\sin mp\sin np}{\sin(m-n)p}}\!}$.

La inversa con respecto al círculo con radio a y centro en el origen de

${\displaystyle r=a{\frac {\sin[q\theta +\theta _{0}]}{\sin[(q-1)\theta +\theta _{0}]}}}$

es

${\displaystyle r=a{\frac {\sin[(q-1)\theta +\theta _{0}]}{\sin[q\theta +\theta _{0}]}}=a{\frac {\sin[(1-q)\theta -\theta _{0}]}{\sin[((1-q)-1)\theta -\theta _{0}]}}}$.

Esta es otra curva de la familia. La inversa con respecto al otro polo produce otra curva más de la misma familia, y las dos inversas son a su vez inversas entre sí. Por lo tanto, cada curva de la familia es miembro de una terna, cada una de las cuales pertenece a la familia y es inversa de las otras dos. Los valores de q en esta familia son

${\displaystyle q,\ {\frac {1}{q}},\ 1-q,{\frac {1}{1-q}},\ {\frac {q-1}{q}},\ {\frac {q}{q-1}}}$.

Dejar${\displaystyle q=m/n}$dónde${\displaystyle m}$y${\displaystyle n}$son enteros en su mínima expresión y asumen${\displaystyle \theta _{0}}$es construible con compás y regla . (El valor de${\displaystyle \theta _{0}}$(Suele ser 0 en la práctica, por lo que esto normalmente no es un problema).${\displaystyle \varphi }$Sea un ángulo dado y supongamos que la sectriz de Maclaurin se ha dibujado con polos.${\displaystyle P}$y${\displaystyle P_{1}}$Según la construcción anterior. Construya un rayo desde${\displaystyle P_{1}}$en ángulo${\displaystyle \varphi +\theta _{0}}$y dejar${\displaystyle Q}$Sea el punto de intersección del rayo y la sectriz y dibuje.${\displaystyle PQ}$. Si${\displaystyle \theta }$¿Cuál es el ángulo de esta línea?

${\displaystyle \varphi +\theta _{0}=\theta _{1}=q\theta +\theta _{0}}$

entonces ${\displaystyle \theta ={\frac {n\varphi }{m}}}$. Restando repetidamente${\displaystyle \theta }$y${\displaystyle \varphi }$uno del otro como en el algoritmo euclidiano , el ángulo${\displaystyle \varphi /m}$Se puede construir. Por lo tanto, la curva es una m -sectrix, lo que significa que, con la ayuda de la curva, un ángulo arbitrario puede dividirse por cualquier número entero. Esta es una generalización del concepto de trisectrix , y a continuación se presentan ejemplos.

Ahora dibuja un rayo con ángulo${\displaystyle \varphi }$de${\displaystyle P}$y${\displaystyle Q'}$sea ​​el punto de intersección de este rayo con la curva. El ángulo de${\displaystyle P'Q'}$es

${\displaystyle \theta _{1}=q\theta +\theta _{0}=q\varphi +\theta _{0}}$

y restando${\displaystyle \theta _{0}}$da un ángulo de

${\displaystyle q\varphi ={\frac {m\varphi }{n}}}$.

Aplicar nuevamente el algoritmo euclidiano da un ángulo de${\displaystyle \varphi /n}$demostrando que la curva también es una n -sectrice.

Finalmente, dibuje un rayo desde${\displaystyle P}$con ángulo${\displaystyle \pi /2-\varphi -\theta _{0}}$y un rayo de${\displaystyle P'}$con ángulo${\displaystyle \pi /2+\varphi +\theta _{0}}$y dejar${\displaystyle C}$sea ​​el punto de intersección. Este punto está en la mediatriz de${\displaystyle PP'}$entonces hay un círculo con centro${\displaystyle C}$que contiene${\displaystyle P}$y${\displaystyle P'}$.${\displaystyle \angle PCP'=2(\varphi +\theta _{0})}$por lo que cualquier punto del círculo forma un ángulo de${\displaystyle \varphi +\theta _{0}}$entre${\displaystyle P}$y${\displaystyle P'}$(De hecho, este es uno de los círculos apolíneos de P y P' ). Sea${\displaystyle Q''}$Sea el punto de intersección de este círculo y la curva. Entonces ${\displaystyle \varphi +\theta _{0}=\angle PQ''P'=\psi =\theta _{1}-\theta =(q-1)\theta +\theta _{0}}$ entonces

${\displaystyle \varphi ={\frac {(m-n)\theta }{n}},\ \theta ={\frac {n\varphi }{m-n}}}$.

Aplicar un algoritmo euclidiano por tercera vez da un ángulo de${\displaystyle \varphi /(m-n)}$, lo que demuestra que la curva también es una ( m − n )-sectrix.

La sectrix extendida de Maclaurin con dos parámetros de forma fue propuesta en ^{[ 1 ]} y estudiada en ^{[ 2 ] .}

En el laboratorio de Ziatdinov se puede encontrar una página web HTML interactiva para interpolar la sección extendida de Maclaurin .

• "Sectrice de Maclaurin" en la Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables (en francés)
• Weisstein, Eric W. "Arácnida" . MundoMatemático .
• Weisstein, Eric W. "Curvas de meseta" . MundoMatemático .