Función de Schwinger

El axioma de temperancia (E0) establece que las funciones de Schwinger son distribuciones temperadas lejos de los puntos coincidentes. Esto significa que pueden integrarse frente a las funciones de prueba de Schwartz , cuyas derivadas se anulan en configuraciones donde coinciden dos o más puntos. A partir de este axioma y otros axiomas de OS (pero no de la condición de crecimiento lineal), se puede demostrar que las funciones de Schwinger son, de hecho, analíticas reales lejos de los puntos coincidentes.

El axioma de covarianza euclidiana (E1) establece que las funciones de Schwinger se transforman de forma covariante bajo rotaciones y traslaciones, a saber:

${\displaystyle S_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n})=S_{n}(Rx_{1}+b,\ldots ,Rx_{n}+b)}$

para una matriz de rotación arbitraria${\displaystyle R\in SO(d)}$y un vector de traslación arbitrario${\displaystyle b\in \mathbb {R} ^{d}}$Los axiomas OS pueden formularse para funciones de Schwinger de campos que se transforman en representaciones arbitrarias del grupo de rotación. ^{[ 2 ] [ 3 ]}

El axioma de simetría (E3) establece que las funciones de Schwinger son invariantes bajo permutaciones de puntos:

${\displaystyle S_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n})=S_{n}(x_{\pi (1)},\ldots ,x_{\pi (n)})}$,

dónde${\displaystyle \pi }$es una permutación arbitraria de${\displaystyle \{1,\ldots ,n\}}$. Las funciones de Schwinger de los campos fermiónicos son, en cambio, antisimétricas; para ellas, esta ecuación tendría un signo ± igual a la signatura de la permutación.

La propiedad de clúster (E4) dice que la función de Schwinger${\displaystyle S_{p+q}}$reduce al producto${\displaystyle S_{p}S_{q}}$Si dos grupos de puntos están separados entre sí por una gran traslación constante:

${\displaystyle \lim _{b\to \infty }S_{p+q}(x_{1},\ldots ,x_{p},x_{p+1}+b,\ldots ,x_{p+q}+b)=S_{p}(x_{1},\ldots ,x_{p})S_{q}(x_{p+1},\ldots ,x_{p+q})}$.

El límite se entiende en el sentido de las distribuciones. También existe una suposición técnica de que los dos grupos de puntos se encuentran a ambos lados del${\displaystyle x^{0}=0}$hiperplano, mientras que el vector${\displaystyle b}$es paralelo a él:

${\displaystyle x_{1}^{0},\ldots ,x_{p}^{0}>0,\quad x_{p+1}^{0},\ldots ,x_{p+q}^{0}<0,\quad b^{0}=0.}$

Los axiomas de positividad (E2) afirman la siguiente propiedad llamada positividad de reflexión (Osterwalder-Schrader). Elija cualquier coordenada arbitraria τ y elija una función de prueba f _N con N puntos como argumentos. Suponga que f _N tiene su soporte en el subconjunto "ordenado en el tiempo" de N puntos con 0 < τ ₁ < ... < τ _N . Elija una de esas f _N para cada N positivo , siendo las f cero para todo N mayor que algún entero M . Dado un punto${\displaystyle x}$, dejar${\displaystyle x^{\theta }}$Sea el punto reflejado sobre el hiperplano τ = 0. Entonces,

${\displaystyle \sum _{m,n}\int d^{d}x_{1}\cdots d^{d}x_{m}\,d^{d}y_{1}\cdots d^{d}y_{n}S_{m+n}(x_{1},\dots ,x_{m},y_{1},\dots ,y_{n})f_{m}(x_{1}^{\theta },\dots ,x_{m}^{\theta })^{*}f_{n}(y_{1},\dots ,y_{n})\geq 0}$

donde * representa la conjugación compleja .

A veces, en la literatura de física teórica, la positividad de reflexión se establece como el requisito de que la función de Schwinger de orden par arbitrario debe ser no negativa si los puntos se insertan simétricamente con respecto a la ${\displaystyle \tau =0}$hiperplano:

${\displaystyle S_{2n}(x_{1},\dots ,x_{n},x_{n}^{\theta },\dots ,x_{1}^{\theta })\geq 0}$.

Esta propiedad se deriva, en efecto, de la positividad de reflexión, pero es más débil que la positividad de reflexión completa.

Esta condición, llamada (E0') en, ^{[ 4 ]} afirma que cuando la función de Schwinger de orden${\displaystyle n}$se combina con una función de prueba de Schwartz arbitraria${\displaystyle f}$que se desvanece en puntos coincidentes, tenemos la siguiente cota:

${\displaystyle |S_{n}(f)|\leq \sigma _{n}|f|_{C\cdot n},}$

dónde${\displaystyle C\in \mathbb {N} }$es una constante entera,${\displaystyle |f|_{C\cdot n}}$es la seminorma del espacio de Schwartz de orden${\displaystyle N=C\cdot n}$, es decir

${\displaystyle |f|_{N}=\sup _{|\alpha |\leq N,x\in \mathbb {R} ^{d}}|(1+|x|)^{N}D^{\alpha }f(x)|,}$

y${\displaystyle \sigma _{n}}$una secuencia de constantes de crecimiento factorial , es decir${\displaystyle \sigma _{n}\leq A(n!)^{B}}$con algunas constantes${\displaystyle A,B}$.

La condición de crecimiento lineal es sutil, ya que debe cumplirse simultáneamente para todas las funciones de Schwinger. Además, no se ha derivado de los axiomas de Wightman , por lo que el sistema de axiomas OS (E0)-(E4) más la condición de crecimiento lineal (E0') parece ser más fuerte que los axiomas de Wightman .

En un principio, Osterwalder y Schrader afirmaron un teorema más fuerte según el cual los axiomas (E0)-(E4) implican por sí mismos los axiomas de Wightman , ^{[ 2 ]} sin embargo, su demostración contenía un error que no podía corregirse sin añadir supuestos adicionales. Dos años después publicaron un nuevo teorema, con la condición de crecimiento lineal añadida como supuesto, y una demostración correcta. ^{[ 4 ]} La nueva demostración se basa en un complejo argumento inductivo (propuesto también por Vladimir Glaser ), ^{[ 5 ]} mediante el cual la región de analiticidad de las funciones de Schwinger se extiende gradualmente hacia el espacio de Minkowski, y las distribuciones de Wightman se recuperan como un límite. La condición de crecimiento lineal (E0') se utiliza de manera crucial para demostrar que el límite existe y es una distribución temperada.

El artículo de Osterwalder y Schrader también contiene otro teorema que reemplaza (E0') por otra suposición llamada${\displaystyle {\check {\text{(E0)}}}}$. ^{[ 4 ]} Este otro teorema rara vez se utiliza, ya que${\displaystyle {\check {\text{(E0)}}}}$es difícil de comprobar en la práctica. ^{[ 3 ]}

Glimm y Jaffe describen en su libro un enfoque alternativo para la axiomatización de correladores euclidianos. ^{[ 6 ]} En este enfoque se supone que se da una medida${\displaystyle d\mu }$en el espacio de distribuciones${\displaystyle \phi \in D'(\mathbb {R} ^{d})}$. A continuación, se considera una función generadora.

${\displaystyle S(f)=\int e^{\phi (f)}d\mu ,\quad f\in D(\mathbb {R} ^{d})}$

que se supone que satisface las propiedades OS0-OS4:

• (OS0) Analiticidad. Esto afirma que

${\displaystyle z=(z_{1},\ldots ,z_{n})\mapsto S\left(\sum _{i=1}^{n}z_{i}f_{i}\right)}$

es una función analítica completa de${\displaystyle z\in \mathbb {R} ^{n}}$para cualquier colección de${\displaystyle n}$funciones de prueba compatibles de forma compacta${\displaystyle f_{i}\in D(\mathbb {R} ^{d})}$Intuitivamente, esto significa que la medida${\displaystyle d\mu }$Decae más rápido que cualquier exponencial.

• (OS1) Regularidad . Esto exige un límite de crecimiento para${\displaystyle S(f)}$en términos de${\displaystyle f}$, como${\displaystyle |S(f)|\leq \exp \left(C\int d^{d}x|f(x)|\right)}$. Véase ^{[ 6 ]} para conocer la condición precisa.
• (OS2) Invariancia euclidiana. Esto dice que la función${\displaystyle S(f)}$es invariante bajo transformaciones euclidianas${\displaystyle f(x)\mapsto f(Rx+b)}$.
• (OS3) Positividad de reflexión. Tomar una secuencia finita de funciones de prueba.${\displaystyle f_{i}\in D(\mathbb {R} ^{d})}$que están todos soportados en el semiespacio superior, es decir, en${\displaystyle x^{0}>0}$Denotemos por${\displaystyle \theta f_{i}(x)=f_{i}(\theta x)}$dónde${\displaystyle \theta }$es una operación de reflexión definida anteriormente. Este axioma dice que la matriz${\displaystyle M_{ij}=S(f_{i}+\theta f_{j})}$tiene que ser semidefinido positivo.
• (OS4) Ergodicidad. El semigrupo de traslación temporal actúa ergódicamente sobre el espacio de medidas.${\displaystyle (D'(\mathbb {R} ^{d}),d\mu )}$. Véase ^{[ 6 ]} para conocer la condición precisa.

Estos axiomas fueron propuestos por Edward Nelson . ^{[ 7 ]} Véase también su descripción en el libro de Barry Simon. ^{[ 8 ]} Al igual que en los axiomas anteriores de Glimm y Jaffe, se supone que el campo${\displaystyle \phi \in D'(\mathbb {R} ^{d})}$es una distribución aleatoria con una medida${\displaystyle d\mu }$Esta medida es suficientemente regular como para que el campo${\displaystyle \phi }$posee la regularidad de un espacio de Sobolev de orden de derivada negativa. La característica crucial de estos axiomas es considerar el campo restringido a una superficie. Uno de los axiomas es la propiedad de Markov , que formaliza la noción intuitiva de que el estado del campo dentro de una superficie cerrada depende únicamente del estado del campo en la superficie.