notación de Schoenflies

La notación de Schoenflies (o Schönflies ) , que recibe su nombre del matemático alemán Arthur Moritz Schoenflies , se utiliza principalmente para especificar grupos puntuales en tres dimensiones . Dado que un grupo puntual por sí solo es suficiente para describir la simetría de una molécula , esta notación suele ser suficiente y se usa comúnmente en espectroscopia . Sin embargo, en cristalografía , existe una simetría traslacional adicional , y los grupos puntuales no bastan para describir la simetría completa de los cristales, por lo que se suele utilizar el grupo espacial completo . La nomenclatura de los grupos espaciales completos generalmente sigue otra convención común, la notación de Hermann-Mauguin , también conocida como notación internacional.

Si bien la notación de Schoenflies sin superíndices es una notación pura de grupos puntuales, opcionalmente se pueden agregar superíndices para especificar con mayor precisión los grupos espaciales individuales. Sin embargo, para los grupos espaciales, la conexión con los elementos de simetría subyacentes es mucho más clara en la notación de Hermann-Mauguin, por lo que esta última suele ser la preferida.

En un espacio tridimensional, existen tres elementos de simetría : un punto en el espacio a través del cual se produce la inversión espacial, una línea en el espacio alrededor de la cual se define el movimiento de rotación y un plano capaz de reflejar una mitad de un objeto en la otra. Un elemento es un punto individual o un conjunto de puntos que no se mueven durante las transformaciones de simetría. Las operaciones de simetría generan permutaciones de átomos cuando estos se mueven en relación con los elementos de simetría, y se definen tres operaciones básicas en relación con ellos. Una operación de inversión central, generalmente representada por el símbolo i , una operación de reflexión especular con el símbolo m o σ, y una operación de rotación n o C _n son los bloques de construcción de las descripciones moleculares. La simetría molecular puede definirse completamente mediante combinaciones de movimientos de rotación junto con una de las operaciones de reflexión o inversión. Por convención, el eje de rotación propia de mayor orden se define como el eje principal. Todos los demás elementos de simetría se describen en relación con él. Se utilizan dos sistemas muy diferentes para describir la simetría molecular y cristalina. La notación de Schoenflies (1891) se basa principalmente en la reflexión especular, mientras que el sistema más moderno de Hermann-Maguin (1931) presenta una estructura basada en la inversión, ya que la cristalografía de rayos X añade un centro de inversión. Lamentablemente, los símbolos de Hermann-Maguin están diseñados específicamente para describir traslaciones espaciales en estructuras cristalinas y no son adecuados para el trabajo molecular.

El uso de la reflexión especular para describir la simetría introduce una serie de problemas que no se presentan con la inversión espacial. La reflexión especular no es una operación conmutativa, por lo que para la operación de rotación R los productos Rm y mR generalmente producen resultados diferentes, mientras que R i e i R siempre producen el mismo resultado. Otro problema con las reflexiones es que deben definirse en planos diferentes, por lo que Schoenflies introduce planos de reflexión verticales y diagonales (que contienen el eje principal) denotados σ _v y σ _d, con un plano de reflexión horizontal (perpendicular al eje principal) denotado σ _h . A pesar de estos problemas, es posible describir la simetría como una combinación de rotación y reflexión en la mayoría de los casos. Una excepción a este esquema es la serie S de grupos puntuales de Schoenflies, que se describen en términos de operaciones combinadas de rotación y reflexión ( ejes de rotación-reflexión ). C, D y S generalmente van seguidos de un subíndice que denota el orden de rotación aplicable.

En tres dimensiones, existe un número infinito de grupos puntuales, pero todos ellos pueden clasificarse en varias familias.

• C _n (de cíclico ) tiene un eje de rotación n -ésimo.
  • C _{n h} es C _n con la adición de un plano de espejo (reflexión) perpendicular al eje de rotación ( plano horizontal ).
  • C _{n v} es C _n con la adición de n planos de simetría que contienen el eje de rotación ( planos verticales ).
• C _s denota un grupo con solo un plano de simetría (de Spiegel , que en alemán significa espejo) y ningún otro elemento de simetría.
• S _n (de Spiegel , que en alemán significa espejo ) contiene solo un eje de rotación-reflexión n -ésimo . El índice, n , debe ser par porque cuando es impar un eje de rotación-reflexión n -ésimo es equivalente a una combinación de un eje de rotación n -ésimo y un plano perpendicular, por lo tanto S _n = C _{n h} para n impar .
• C _{n i} tiene solo un eje de rotoinversión . Esta notación se usa raramente porque cualquier eje de rotoinversión puede expresarse como un eje de rotación-reflexión: para n impar , C _{n i} = S _{2 n} y C _{2 n i} = S _n = C _{n h} , y para n par , C _{2 n i} = S _{2 n} . Solo se usa comúnmente la notación C _i (que significa C _1i ), y algunas fuentes escriben C _3i , C _5i, etc.
• D _n (de diedro , o de dos lados) tiene un eje de rotación de orden n más n ejes de orden dos perpendiculares a ese eje.
  • D _{n h} tiene, además, un plano de simetría horizontal y, como consecuencia, también n planos de simetría verticales, cada uno de los cuales contiene el eje de simetría n y uno de los ejes de simetría doble.
  • D _{n d} tiene, además de los elementos de D _n , n planos de simetría verticales que pasan entre ejes de simetría doble ( planos diagonales ).
• El grupo T (el grupo tetraédrico quiral ) tiene los ejes de rotación de un tetraedro (tres ejes de simetría de orden 2 y cuatro ejes de simetría de orden 3).
  • T _d incluye planos de simetría diagonales (cada plano diagonal contiene solo un eje de simetría doble y pasa entre otros dos ejes de simetría doble, como en D _2d ). Esta adición de planos diagonales da como resultado tres operaciones de rotación impropias S ₄ .
  • T _h incluye tres planos de simetría horizontales. Cada plano contiene dos ejes de simetría doble y es perpendicular al tercer eje de simetría doble, lo que da como resultado un centro de inversión i .
• El grupo octaédrico quiral O tiene los ejes de rotación de un octaedro o cubo (tres ejes de simetría cuádruple, cuatro ejes de simetría triple y seis ejes diagonales de simetría doble).
  • O _h incluye planos de simetría horizontales y, por consiguiente, planos de simetría verticales. También contiene operaciones de centro de inversión y rotación impropia.
• La letra I (el grupo icosaédrico quiral ) indica que el grupo tiene los ejes de rotación de un icosaedro o dodecaedro (seis ejes de simetría quíntuple, diez ejes de simetría triple y quince ejes de simetría doble).
  • I _h incluye planos de espejo horizontales y contiene también centro de inversión y operaciones de rotación impropia.

Todos los grupos que no contienen más de un eje de orden superior (de orden 3 o superior) pueden organizarse como se muestra en la tabla siguiente; los símbolos en rojo se utilizan con poca frecuencia.

En cristalografía, debido al teorema de restricción cristalográfica , n está restringido a los valores 1, 2, 3, 4 o 6. Los grupos no cristalográficos se muestran con fondos grises. D _4d y D _6d también están prohibidos porque contienen rotaciones impropias con n  =  8 y 12 respectivamente. Los 27 grupos puntuales de la tabla más T , T _d , T _h , O y O _h constituyen 32 grupos puntuales cristalográficos .

Los grupos con n = ∞ se denominan grupos límite o grupos de Curie . Existen dos grupos límite más, no incluidos en la tabla: K (de Kugel , que en alemán significa bola o esfera), el grupo de todas las rotaciones en el espacio tridimensional; y K _h , el grupo de todas las rotaciones y reflexiones. En matemáticas y física teórica se conocen respectivamente como el grupo ortogonal especial y el grupo ortogonal en el espacio tridimensional, con los símbolos SO(3) y O(3).

Los grupos espaciales con un grupo puntual dado se numeran del 1 al 3 (en el mismo orden que su número internacional) y este número se añade como superíndice al símbolo de Schönflies para el grupo puntual correspondiente. Por ejemplo, los grupos del 3 al 5 cuyo ^{grupo puntual} _es C2 tienen los símbolos _de ^Schönflies _C12 , C22 , C32 _.

Mientras que en el caso de los grupos puntuales, el símbolo de Schönflies define inequívocamente los elementos de simetría del grupo, el superíndice adicional para el grupo espacial no proporciona información sobre la simetría traslacional del grupo espacial (centrado de la red, componentes traslacionales de ejes y planos). Por lo tanto, es necesario consultar tablas especiales que contienen información sobre la correspondencia entre la notación de Schönflies y la de Hermann-Mauguin . Dicha tabla se encuentra en la página "Lista de grupos espaciales" .

• grupo puntual cristalográfico
• Grupos puntuales en tres dimensiones
• Lista de grupos de simetría esférica

• Flurry, RL, Grupos de simetría  : Teoría y aplicaciones químicas . Prentice-Hall, 1980. ISBN 978-0-13-880013-0LCCN: 79-18729
• Cotton, FA, Aplicaciones químicas de la teoría de grupos , John Wiley & Sons: Nueva York, 1990. ISBN 0-471-51094-7
• Harris, D., Bertolucci, M., Simetría y espectroscopia . Nueva York, Dover Publications, 1989.

• Simetría en Otterbein