Descomposición escalar-vectorial-tensorial

En la teoría de perturbaciones cosmológicas , la descomposición escalar-vector-tensorial es una descomposición de las perturbaciones linealizadas más generales de la métrica de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker en componentes según sus transformaciones bajo rotaciones espaciales. Fue descubierta por primera vez por E. M. Lifshitz en 1946. Se deriva del teorema de Helmholtz (véase descomposición de Helmholtz ). La perturbación métrica general tiene diez grados de libertad. La descomposición establece que las ecuaciones de evolución para las perturbaciones linealizadas más generales de la métrica de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker pueden descomponerse en cuatro escalares, dos campos vectoriales espaciales sin divergencia (es decir, con un índice espacial que va de 1 a 3) y un campo tensorial espacial simétrico y sin traza con componentes longitudinales dobles y simples nulas. Los campos vectoriales y tensoriales tienen cada uno dos componentes independientes, por lo que esta descomposición codifica los diez grados de libertad de la perturbación métrica general. Utilizando la invariancia de gauge, cuatro de estas componentes (dos escalares y un campo vectorial) pueden establecerse a cero.

Si la métrica perturbada${\displaystyle g'_{\mu \nu }=g_{\mu \nu }+h_{\mu \nu }}$dónde${\displaystyle h_{\mu \nu }}$es la perturbación, entonces la descomposición es la siguiente, $${\displaystyle h_{00}=-2\psi}$$$${\displaystyle h_{0i}=w_{i}}$$$${\displaystyle h_{ij}=2(\phi g_{ij}+S_{ij})}$$ donde los índices latinos i y j recorren los componentes espaciales (1,...,3). El campo tensorial${\displaystyle S_{ij}}$es sin rastro bajo la parte espacial de la métrica de fondo${\displaystyle g_{ij}}$( es decir${\displaystyle g^{ij}S_{ij}=0}$). El vector espacial${\displaystyle w_{i}}$y tensor${\displaystyle S_{ij}}$someterse a una descomposición adicional. El vector está escrito $${\displaystyle w_{i}=w^{||}{}_{i}+w^{\perp }{}_{i},}$$ dónde${\displaystyle \nabla \times \mathbf {w} ^{||}=\mathbf {0} }$y${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {w} ^{\perp }=0}$(${\displaystyle \nabla _{i}}$es la derivada covariante definida con respecto a la métrica espacial${\displaystyle g_{ij}}$). La notación se utiliza porque en el espacio de Fourier , estas ecuaciones indican que los puntos vectoriales son paralelos y perpendiculares a la dirección del vector de onda, respectivamente. La componente paralela se puede expresar como el gradiente de un escalar,${\displaystyle w^{||}{}_{i}=\nabla _{i}A}$. De este modo${\displaystyle \mathbf {w} }$se puede escribir como una combinación de un escalar y un vector de dos componentes que no diverge.

Finalmente, se puede realizar una descomposición análoga en el campo tensorial sin traza.${\displaystyle S_{ij}}$. ^{[ 1 ]} Se puede escribir $${\displaystyle S_{ij}=S^{||}{}_{ij}+S_{ij}^{\perp }+S^{T}{}_{ij},}$$ dónde $${\displaystyle S^{||}{}_{ij}=(\nabla _{i}\nabla _{j}-{\frac {1}{3}}g_{ij}\nabla ^{2})B,}$$ dónde${\displaystyle B}$es un escalar (la combinación de derivadas está determinada por la condición de que${\displaystyle S}$ser imperceptible), y $${\displaystyle S^{\perp }{}_{ij}=\nabla _{i}S^{\perp }{}_{j}+\nabla _{j}S^{\perp }{}_{i},}$$ dónde${\displaystyle S^{\perp }{}_{i}}$es un vector espacial sin divergencia. Esto deja solo dos componentes independientes de${\displaystyle S^{T}{}_{ij}}$, correspondientes a las dos polarizaciones de las ondas gravitacionales . (Dado que el gravitón no tiene masa, las dos polarizaciones son ortogonales a la dirección de propagación, al igual que el fotón).

La ventaja de esta formulación es que las ecuaciones de evolución escalar, vectorial y tensorial están desacopladas. En teoría de la representación , esto corresponde a la descomposición de perturbaciones bajo el grupo de rotaciones espaciales . Dos componentes escalares y una componente vectorial pueden eliminarse aún más mediante transformaciones de gauge . Sin embargo, las componentes vectoriales generalmente se ignoran, ya que existen pocos procesos físicos conocidos en los que puedan generarse. Como se indicó anteriormente, las componentes tensoriales corresponden a ondas gravitacionales.${\displaystyle S^{T}{}_{ij}}$es invariante de calibre: no cambia bajo transformaciones de coordenadas infinitesimales.

• descomposición de Helmholtz
• descomposición de Ricci

• E. Bertschinger (2001). "Teoría de perturbación cosmológica y formación de estructuras". arXiv : astro-ph/0101009 . Bibcode : 2001astro.ph..1009B .{{cite journal}}: Para citar una revista se requiere |journal=( ayuda )
• EM Lifshitz (1946). "Sobre la estabilidad gravitacional del universo en expansión". J. Phys. USSR . 10 : 116.
• Eanna E. Flanagan, Scott A. Hughes (2005). "Los fundamentos de la teoría de las ondas gravitacionales". New Journal of Physics . 7 : 204. arXiv : gr-qc/0501041 . Bibcode : 2005NJPh....7..204F . doi : 10.1088/1367-2630/7/1/204 . S2CID 9530657 . 
• E. Poisson, CM Will (2014). Gravedad: Newtoniana, Postnewtoniana, Relativista . Cambridge University Press. pág.  257.