Función redonda

En topología y en cálculo , una función circular es una función escalar , sobre una variedad , cuyos puntos críticos forman una o varias componentes conexas , cada una homeomorfa al círculo , también llamadas bucles críticos. Son casos especiales de funciones de Morse-Bott . ${\displaystyle M\to {\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle S^{1}}$

Por ejemplo, sea el toro . Sea ${\displaystyle M}$

${\displaystyle K=(0,2\pi )\times (0,2\pi ).\,}$

Entonces sabemos que un mapa

${\displaystyle X\colon K\to {\mathbb {R} }^{3}\,}$

dado por

${\displaystyle X(\theta ,\phi )=((2+\cos \theta )\cos \phi ,(2+\cos \theta )\sin \phi ,\sin \theta )\,}$

es una parametrización para casi todos los . Ahora, a través de la proyección obtenemos la restricción ${\displaystyle M}$${\displaystyle \pi _{3}\colon {\mathbb {R} }^{3}\to {\mathbb {R} }}$

${\displaystyle G=\pi _{3}|_{M}\colon M\to {\mathbb {R} },(\theta ,\phi )\mapsto \sin \theta \,}$

${\displaystyle G=G(\theta ,\phi )=\sin \theta }$es una función cuyos conjuntos críticos están determinados por

${\displaystyle {\rm {grad}}\ G(\theta ,\phi )=\left({{\partial }G \over {\partial }\theta },{{\partial }G \over {\partial }\phi }\right)\!\left(\theta ,\phi \right)=(0,0),\,}$

Esto es si y sólo si . ${\displaystyle \theta ={\pi \over 2},\ {3\pi \over 2}}$

Estos dos valores dan los conjuntos críticos ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle X({\pi /2},\phi )=(2\cos \phi ,2\sin \phi ,1)\,}$

${\displaystyle X({3\pi /2},\phi )=(2\cos \phi ,2\sin \phi ,-1)\,}$

que representan dos círculos extremos sobre el toro . ${\displaystyle M}$

Observe que el hessiano para esta función es

${\displaystyle {\rm {hess}}(G)={\begin{bmatrix}-\sin \theta &0\\0&0\end{bmatrix}}}$

lo cual claramente se revela como rango igual a uno en los círculos marcados, haciendo degenerar el punto crítico, es decir, mostrando que los puntos críticos no están aislados. ${\displaystyle {\rm {hess}}(G)}$

Imitando la teoría de categorías L–S se puede definir la complejidad redonda preguntando si existen o no funciones redondas en variedades y/o cuál es el número mínimo de bucles críticos.

• Siersma y Khimshiasvili, On minimal round functions , Preprint 1118, Departamento de Matemáticas, Universidad de Utrecht, 1999, págs. 18.[1]. Una actualización en [2]