Invariancia rotacional

Por ejemplo, la función

${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}}$

es invariante bajo rotaciones del plano alrededor del origen, porque para un conjunto de coordenadas rotadas a través de cualquier ángulo θ

${\displaystyle x'=x\cos \theta -y\sin \theta }$

${\displaystyle y'=x\sin \theta +y\cos \theta }$

La función, tras cierta cancelación de términos, toma exactamente la misma forma.

${\displaystyle f(x',y')={x}^{2}+{y}^{2}}$

La rotación de coordenadas se puede expresar en forma matricial utilizando la matriz de rotación ,

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\\end{bmatrix}},}$

o simbólicamente, x ′ = Rx . Simbólicamente, la invariancia rotacional de una función de valor real de dos variables reales es

${\displaystyle f(\mathbf {x} ')=f(\mathbf {Rx} )=f(\mathbf {x} )}$

En otras palabras, la función de las coordenadas rotadas adopta exactamente la misma forma que con las coordenadas iniciales; la única diferencia es que las coordenadas rotadas reemplazan a las iniciales. Para una función de tres o más variables reales , esta expresión se extiende fácilmente utilizando matrices de rotación adecuadas.

El concepto también se extiende a una función vectorial f de una o más variables;

${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} ')=\mathbf {f} (\mathbf {Rx} )=\mathbf {f} (\mathbf {x} ).}$

En todos los casos anteriores, lo que se rota son los argumentos (aquí llamados "coordenadas" para mayor claridad), no la función en sí.

Para una función

${\displaystyle f:X\rightarrow X,}$

que mapea elementos de un subconjunto X de la recta real${\displaystyle \mathbb {R} }$La invariancia rotacional en sí misma también puede significar que la función conmuta con las rotaciones de los elementos en X. Esto también se aplica a un operador que actúa sobre dichas funciones. Un ejemplo es el operador de Laplace bidimensional.

${\displaystyle \nabla ^{2}={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}},}$

que actúa sobre una función f para obtener otra función ∇ ² f . Este operador es invariante bajo rotaciones.

Si g es la función g ( p ) = f ( R ( p )), donde R es cualquier rotación, entonces (∇ ² g )( p ) = (∇ ² f )( R ( p )); es decir, rotar una función simplemente rota su laplaciano.

En mecánica cuántica , la invariancia rotacional es la propiedad de que después de una rotación el nuevo sistema sigue obedeciendo la ecuación de Schrödinger . Es decir,

${\displaystyle [R,EH]=0}$

para cualquier rotación R. Dado que la rotación no depende explícitamente del tiempo, conmuta con el operador de energía. Por lo tanto, para la invariancia rotacional debemos tener [ R , H ] = 0. 

Para rotaciones infinitesimales (en el plano xy para este ejemplo; se puede hacer de la misma manera para cualquier plano) por un ángulo dθ, el operador de rotación (infinitesimal) es

${\displaystyle R=1+J_{z}d\theta \,,}$

entonces

${\displaystyle \left[1+J_{z}d\theta ,{\frac {d}{dt}}\right]=0\,,}$

de este modo

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}J_{z}=0\,,}$

En otras palabras, el momento angular se conserva.